Hrvatska matematička olimpijada 1994 - Drugi dan - Zadatak 1
Dodao/la:
mljulj12. travnja 2012. Dan je prirodan broj
![n](/media/m/a/e/5/ae594d7d1e46f4b979494cf8a815232b.png)
. Neka je
![S(n)](/media/m/0/b/4/0b45d56c161f2c7a80e7c577c993e519.png)
skup kompleksnih brojeva na jediničnoj kružnici u kompleksnoj ravnini sa središtem u točki
![z=0](/media/m/d/3/5/d350429d3d376985f266adba2bbb9628.png)
koji zadovoljavaju sljedeću jednakost
![\left( z+\frac{1}{z} \right)^n=2^{n-1} \left( z^n+\frac{1}{z^n} \right).](/media/m/c/1/7/c176b5d7f2e00dfe3aaf33f369446617.png)
a) Odredite skup
![S(n)](/media/m/0/b/4/0b45d56c161f2c7a80e7c577c993e519.png)
za
![n=2,3,4,5](/media/m/9/f/1/9f1b828048284664535600eeb6e216fc.png)
.
b) Odredite gornju granicu (ovisnu o
![n](/media/m/a/e/5/ae594d7d1e46f4b979494cf8a815232b.png)
) za broj elemenata skupa
![S(n)](/media/m/0/b/4/0b45d56c161f2c7a80e7c577c993e519.png)
.
%V0
Dan je prirodan broj $n$. Neka je $S(n)$ skup kompleksnih brojeva na jediničnoj kružnici u kompleksnoj ravnini sa središtem u točki $z=0$ koji zadovoljavaju sljedeću jednakost
$$ \left( z+\frac{1}{z} \right)^n=2^{n-1} \left( z^n+\frac{1}{z^n} \right).$$
a) Odredite skup $S(n)$ za $n=2,3,4,5$.
b) Odredite gornju granicu (ovisnu o $n$) za broj elemenata skupa $S(n)$.
Izvor: Hrvatska matematička olimpijada 1994.