Marinada '16

Neka je $\overline{AB}$ promjer kružnice $k$, i neka je $T$ točka na $k$ takva da tangenta na $k$ u točki $T$ siječe pravac $AB$ u točki $C$ tako da je $A$ između $B$ i $C$. Neka je $P$ nožište okomice iz $A$ na $CT$. Ako je $AB = 18$, neka je maksimalna moguća duljina dužine $\overline{BP}$ broj $a + b\sqrt{c}$ gdje su $a, b$ i $c$ nenegativni cijeli brojevi, te $c$ nije djeljiv kvadratom nijednog prirodnog broja osim $1$. (Izraz pod korijenom je skraćen.) Koliko je $a^2 + b^2 + c^2$?