Marinada '16

\begin{enumerate} \item Nala živi u sustavu gdje su svi planeti jendake veličine, radijusa $1$. Nala je na svakom planetu ofarbala plavo onaj dio planeta s kojeg se ne vidi nijedan drugi planet. Je li ukupna površina svih plavih dijelova nužno $4\pi$? \item Nala je sletjela na planet nepoznatog oblika, no zna sa sigurnošću da je oblik ili kugla ili kocka. Zatim je otišla na dijametralno suprotnu točku krećući se po površini planeta. Može li sa sigurnošću, neovisno o putu i točki slijetanja znati je li planet kugla ili kocka? \item Nala živi na planetu gdje postoji Sunce i 6 planeta, svi strogo manji od Sunca. Postoji li nužno točka na Suncu s koje se vidi barem $4$ planeta? \item Nala živi u sustavu s $5$ planeta. Je li moguće da se svi planeti međusobno dodiruju? \item Nala živi u sustavu od $13$ planeta (brojeći njen) jednakih radijusa. Je li moguće da svi planeti dodiruju Nalin planet? \end{enumerate} Pojašnjenje za $2.$ podzadatak: Nala samo zna koordinate $(x, y, z)$ svih točaka koje je posjetila, to jest zna krivulju kojom se kretala.