Marinada '19

Za dani prirodni broj $C$, nazovimo funkciju $f \colon \mathbb{N} \to \mathbb{R^{+}}$ \emph{$C$-rojalnom} ako vrijedi sljedeći uvjet za svaki prirodni broj $n \geqslant C$: \[f(d_1) f(d_2) \cdots f(d_{d(n)}) = nd(n)\] gdje je $d(n)$ funkcija koja vraća broj pozitivnih djelitelja od $n$, te su $d_1, d_2, \ldots, d_{d(n)}$ svi pozitivni djelitelji broja $n$. Za prvi zadatak smo pripremili nešto...\emph{nešto kao flash}. Ali ćemo vam pripomoći. Poznato je da postoji samo konačno mnogo $1$-rojalnih funkcija, no nećemo reći i koliko. No pitati ćemo vas, koliko iznosi zbroj svih mogućih vrijednosti za $f(125)$?