Marinada '21

[lang=hr] Kružnica $K_0$ ima polumjer $1$ i $A_0$ je točka na toj kružnici. Kružnica $K_1$ ima polumjer $r<1$ i s unutrašnje strane dira $K_0$ u točki $A_0$. Točka $A_1$ leži na kružnici $K_1$ $90^{\circ}$ u smjeru obrnutom od smjera kazaljke na satu s obzirom na $A_0$. Kružnica $K_2$ ima polumjer $r^2$ i s unutrašnje strane dira $K_1$ u točki $A_1$. Na navedeni način konstruiran je niz kružnica $K_1,K_2,K_3,...$ i točaka $A_1,A_2,A_3,...$ na navedenim kružnicama, pri čemu kružnica $K_n$ ima radijus $r^n$ i iznutra dodiruje kružnicu $K_{n-1}$ u točki $A_{n-1}$. Također, točka $A_n$ nalazi se na $K_n$ $90^{\circ}$ obrnuto od smjera kazaljke na satu od točke $A_{n-1}$, kao što je prikazano na slici. \\ Postoji točka $P$ koja se nalazi unutar svih kružnica. Kada $r$ iznosi $\frac{11}{60}$, udaljenost središta $K_0$ od $P$ je $\frac{m}{n}$, gdje su $m$ i $n$ relativno prosti prirodni brojevi. Koliko iznosi $m+n$? \begin{center} \begin{figure} \includegraphics{kruznice.png} \end{figure} \end{center} [/lang] [lang=en] Radius of a circle $K_0$ is $1$. $A_0$ is a point on that circle. Radius of a circle $K_1$ is $r<1$. $K_1$ touches $K_0$ internally at $A_0$. We choose a point $A_1$ so that it lies $90^{\circ}$ counterclockwise from $A_0$ on $K_1$. Circle $K_2$ has a radius $r^2$ and touches $K_1$ internally at point $A_1$. This way we have constructed a sequence of circles $K_1,K_2,K_3,...$ and a sequence of points $A_1,A_2,A_3,...$ on said circles, where circle $K_n$ has a radius $r^n$ and touches the circle $K_{n-1}$ internally at $A_{n-1}$. Also, $A_n$ lies $90^{\circ}$ counterclockwise from $A_{n-1}$ on the circle $K_n$, as shown in the figure below. \\ There exists a point $P$ inside all these circles. When $r=\frac{11}{60}$, the distance between the center of $K_0$ and $P$ is $\frac{m}{n}$, where $m$ and $n$ are relatively prime. Find $m+n$. \begin{center} \begin{figure} \includegraphics{kruznice.png} \end{figure} \end{center} [/lang]