Marinada '22

[lang=hr] Ako je $S$ konačan neprazan skup prirodnih brojeva označimo sa $d_S$ najveći prirodan broj koji dijeli sve elemente skupa $S$. Promatrajmo skup $X$ sa $2022$ elementa koji zadovoljava da za svaka dva njegova neprazna podskupa $P, Q$ važi da $P \neq Q \implies d_P \neq d_Q$. Koliko najmanje prostih brojeva dijeli produkt svih elemenata skupa $X$? [/lang] [lang=en] Let $S$ be a finite nonempty set of natural numbers. Denote the largest natural number that divides all elements of $S$ with $d_S$. Consider set $X$ consisting of $2022$ elements satisfying the condition that for every two of its nonempty sets $P$ and $Q$ $P \neq Q \implies d_P \neq d_Q$. What is the smallest possible number of prime numbers that divide the product of all elements from $X$? [/lang]