Marinada '22

[lang=hr] Definiramo niz $(a_n)_{n \geq 0}$ rekurzivno s $a_0=257$, $a_{n+1}=(a_n+1)^{a_n}-1$ za $n \geq 0$. Odredi najveći prirodan broj $k$ takav da $257^k \mid a_{100}$. S obzirom da je traženi broj velik, napišite samo njegove zadnje $4$ znamenke, u formatu četveroznamenkastog broja. [/lang] [lang=en] Define a sequence $(a_n)_{n \geq 0}$ recursively by $a_0=257$, $a_{n+1}=(a_n+1)^{a_n}-1$ for $n \geq 0$. Find the greatest positive integer $k$ such that $257^k \mid a_{100}$. Since this number is large, write only the last $4$ digits, in the form of a $4$-digit integer. [/lang]