Marinada '25

[lang=hr] Budući da je Marica s lakoćom riješila prošla dva \textit{chill} zadatka, Ivica je odlučio Marici početi zadavati malo zahtjevnije zadatke, odnosno \textit{napete chill} zadatke. Kao prvi takav zadatak, Ivica Marici postavlja: Pronađi najveći nenegativni realni broj $f(333)$ sa sljedećim svojstvom: Kad god su $a_1,a_2,\dots,a_{333}$ realni brojevi takvi da $a_1+a_2+\cdots+a_{333}$ je cijeli broj, onda postoji neki $i$ takav da \[ \left | a_i-\frac{1}{2} \right | \geq f(333). \] Zapiši $f(333)$ kao potpuno skraćeni razlomak $\frac{a}{b}$ te kao odgovor na ovo pitanje zapiši vrijednost izraza $a+b$ [/lang] [lang=en] Since Marica easily solved the previous two chill problems, Ivica decided to give her slightly harder tasks, i.e. tight‑chill problems. As the first such task Ivica asks Marica: Find the greatest non‑negative real number $f(333)$ with the following property: Whenever $a_1,a_2,\dots ,a_{333}$ are real numbers whose sum $a_1+a_2+\cdots +a_{333}$ is an integer, there exists an index $i$ such that $$ \left|a_i-\frac12 \right|\ge f(333). $$ Write $f(333)$ as a fully reduced fraction $\frac{a}{b}$ and answer the question with the value of the expression $a+b$. [/lang]