Marinada '26

[lang=hr] Konačan skup točaka $S$ u koordinatnoj ravnini naziva se preodređenim ako je $|S| \ge 2$ i ako postoji polinom $P(t)$ različit od nul-polinoma, s realnim koeficijentima i stupnjem najviše $|S| - 2$, takav da vrijedi $P(x) = y$ za svaku točku $(x, y) \in S$. Za svaki cijeli broj $n \ge 2$ odredite najveći cijeli broj $k$ (izražen pomoću $n$) takav da postoji skup od $n$ različitih točaka koji nije preodređen, ali ima $k$ preodređenih podskupova. Zatim izračunajte zbroj vrijednosti $k$ za svaki $n$ od 2 do 64 (uključivo) i navedite ga kao rješenje. [/lang] [lang=en] A finite set of points $S$ in the coordinate plane is called overdetermined if $|S| \ge 2$ and there exists a non-zero polynomial $P(t)$ with real coefficients and degree at most $|S| - 2$ such that $P(x) = y$ for every point $(x, y) \in S$. For each integer $n \ge 2$, determine the largest integer $k$ (expressed in terms of $n$) such that there exists a set of $n$ distinct points that is not overdetermined but has $k$ overdetermined subsets. Then calculate the sum of the values ​​of $k$ for each $n$ from 2 to 64 (inclusive) and state it as the answer. [/lang]