Marinada '26

[lang=hr] Neka je $S = \{1, 2, . . . , n\}$, pri čemu je $n = 15$. Svaki od $2^n$ podskupova skupa $S$ treba obojiti crvenom ili plavom bojom. (Boja se pridružuje samom podskupu, a ne njegovim pojedinačnim elementima.) Za svaki skup $T \subseteq S$, s $f(T)$ označavamo broj plavih podskupova skupa $T$. Odredite broj načina bojenja koji zadovoljavaju sljedeći uvjet: za bilo koja dva podskupa $T_1$ i $T_2$ skupa $S$ vrijedi $$ f(T_1)f(T_2) = f(T_1 \cup T_2)f(T_1 \cap T_2) $$ [/lang] [lang=en] Let $S = \{1, 2, . . . , n\}$, where $n = 15$. Each of the $2^n$ subsets of S is to be colored red or blue. (The subset itself is assigned a color and not its individual elements.) For any set $T \subseteq S$, we then write $f(T)$ for the number of subsets of $T$ that are blue. Determine the number of colorings that satisfy the following condition: for any subsets $T_1$ and $T_2$ of $S$, $$ f(T_1)f(T_2) = f(T_1 \cup T_2)f(T_1 \cap T_2) $$ [/lang]