MetaMath '23

\textit{(Općinsko natjecanje 2007., 1. razred)} Postoji li pravokutan trokut kojemu su duljine kateta cijeli brojevi, a duljina hipotenuze $\sqrt{2006}$? ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \emph{Rješenje.} \\\\ \textbf{1. Razumijevanje problema.} \\\\ ,,\textit{Što je nepoznato?}'' Postojanje pravokutnog trokuta. \\\\ ,,\textit{Što su poznati podatci?}'' Duljine kateta su cijeli brojevi, a hipotenuza je duljine $\sqrt{2006}$. \\\\ ,,\textit{Prikladno označimo veličine.}'' Ako taj trokut postoji, označimo mu duljine kateta sa $a$ i $b$. \\\\ ,,\textit{Što povezuje ove veličine?}'' Kada bi taj pravokutan trokut postojao, na njega bi se mogao primijeniti Pitagorin poučak. \\\\ \textbf{2. Smišljanje plana.} \\\\ Kada treba odrediti postoji li nešto, važno je odabrati hoćemo li krenuti od pretpostavke da tražena stvar postoji ili ne. U ovom slučaju, ako bismo pretpostavili da trokut ne postoji, nemamo od čega krenuti, stoga pretostavimo da trokut postoji. \\\\ Sada možemo primijeniti Pitagorin poučak pa imamo $$ a^2+b^2=2006. $$ Ovo je jedna jednadžba, ali imamo dvije nepoznanice. Uvjet zadatka je da su $a$ i $b$ cijeli brojevi, stoga je ovdje riječ o \textbf{diofantskoj jednadžbi}. \\\\ Naš početni problem može se preformulirati na sljedeći način: ,,\textit{Koliko rješenja ima jednadžba} $a^2+b^2=2006$?'' \\\\ Jesmo li iskoristili sve uvjete u zadatku? Još nismo koristili uvjet da su $a$ i $b$ cijeli brojevi. Kakvi mogu biti cijeli brojevi? Pozitivni i negativni (i nula), ali negativni brojevi (i nula) u ovom kontekstu nemaju ni smisla jer $a$ i $b$ predstavljaju duljine kateta. \\\\ Koje svojstvo imaju cijeli brojevi, a racionalni i realni brojevi nemaju? Parnost i neparnost! Pogledajmo možemo li to nekako iskoristiti. Najprije uočimo kako je broj $2006$ paran pa i zbroj $a^2+b^2$ mora biti paran. Kada je zbroj paran? Kada su pribrojnici iste parnosti pa ćemo imati dva slučaja. \\\\ Brojevi $a^2$ i $b^2$ su kvadrati. Kada su kvadrati parni ili neparni? Ako nismo otprije upoznati s tim rezultatom, to također treba istražiti. Ispitujući na par primjera, možemo naslutiti da su kvadrati parnih brojeva parni, a kvadrati neparnih brojeva neparni. Vrijedi li i nešto više? \\\\ Kvadrat parnog broja je djeljiv s $4$, a kvadrat neparnog broja pri dijeljenju s $4$ daje ostatak $1$ (\textit{Možete li to dokazati?}). Promislimo: ako su oba pribrojnika djeljiva s $4$, mora li zbroj biti djeljiv s $4$? Koliki je zbroj? \\\\ Dakle, rješenje zadatka ovisi o pitanju može li zbroj dva neparna kvadrata biti $2006$, a to možemo algebarski ispitati. \\\\ Imamo plan! \\\\ \textbf{3. Provođenje plana.} \\\\ Pretpostavimo da takav pravokutan trokut postoji, stoga vrijedi $$ a^2+b^2=2006. $$ Budući da je $2006$ paran broj, to također mora biti zbroj na lijevoj strani jednadžbe pa su $a^2$ i $b^2$ ili oba parna ili oba neparna. Slučaj kada su oba ta pribrojnika parna otpada jer su tada djeljivi s $4$ pa i njihov zbroj mora biti djeljiv s $4$, a $2006$ nije djeljiv s $4$ pa taj slučaj otpada. \\\\ Dakle, $a^2$ i $b^2$ su neparni brojevi, što znači da su $a$ i $b$ neparni. Tada možemo zapisati $a=2k+1$, $b=2l+1$, gdje su $k$ i $l$ cijeli brojevi. \\\\ Slijedi: \begin{align*} a^2+b^2&=2006 \\ (2k+1)^2+(2l+1)^2&=2006 \\ 4k^2+4k+1+4l^2+4l+1&=2006 \\ 4k^2+4k+4l^2+4l&=2004 \hspace{0.2cm}/ : 4 \\ k^2+k+l^2+l&=501 \\ k(k+1)+l(l+1)&=501 \end{align*} Brojevi $k$ i $k+1$ su različitih parnosti pa je njihov umnožak paran broj, stoga je zbroj na lijevoj strani paran, a broj $501$ neparan. Krenuli smo od pretpostavke da pravokutan trokut sa zadanim uvjetom postoji i došli smo do nečeg nemogućeg pa je zaključak da je početna pretpostavka bila netočna, odnosno traženi trokut ne postoji. \\\\ \textbf{4. Osvrt.} \\\\ Kada radimo osvrt na ovakav zadatak, dobro se uvjeriti da je svaki korak u rješavanju valjan. Primjerice, je li svaki kvadrat parnog broja djeljv s $4$? Provjerimo: $$ (2k)^2=4k^2, $$ čime je tvrdnja vrlo lako dokazana. \\\\ Također, svaki kvadrat neparnog brojeva pri djeljenju s 4 daje ostatak $1$ zato što: $$ (2k+1)^2=4k^2+4k+1=4(\underbrace{k^2+k}_{\in \mathbb{Z}})+1. $$ \emph{Kao rješenje upišite godinu prvog izdanja \textbf{knjige} iz ovog lanca.}