MetaMath '23

\emph{Zadatak 13. iz navedenog predavanja (nemojte se prepasti indukcije ako se niste susreli, možete razumjeti o čemu se radi i bez predznanja).} Uzmimo proizvoljan skup od konačno mnogo dužina u ravnini. Matematičkom indukcijom ćemo pokazati da sve dužine u tom skupu imaju jednaku duljinu. \emph{Baza:} u jednočlanom skupu trivijalno sve dužine imaju jednaku duljinu. \emph{Pretpostavka}: pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za neki $n \in \mathbb{N}$, tj. da u svakom skupu od $n$ dužina sve dužine imaju jednaku duljinu. \emph{Korak}: uzmimo neki skup $S$ od $n + 1$ dužine. Izbacimo jednu dužinu iz $S$, nazovimo ju $\overline{AB}$. Tako dobiveni skup $S_0$ ima $n$ dužina, pa prema pretpostavci indukcije sve dužine u tom skupu imaju jednaku duljinu. Izbacivanjem neke dužine iz skupa $S_0$, dodavanjem dužine $\overline{AB}$ i ponovnom primjenom pretpostavke indukcije vidimo kako i dužina $\overline{AB}$ ima jednaku duljinu kao i sve ostale dužine iz skupa $S_0$. Dakle, i sve dužine u skupu $S$ imaju jednaku duljinu. Ovime je korak indukcije dokazan, pa tvrdnja vrijedi za svaki $n \in \mathbb{N}$, tj. u svakom skupu od konačno mnogo dužina u ravnini, sve su dužine jednake duljine. Gdje je greška u ovom dokazu?