MetaMath '23

Dokažite sljedeće identitete: \begin{enumerate} \item Za svaki $n$ prirodan broj vrijedi $$a^n-b^n = (a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+ab^{n-2}+b^{n-1}).$$ \item Za svaki $n$ neparan prirodan broj vrijedi $$a^n+b^n = (a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+...-ab^{n-2}+b^{n-1}).$$ \end{enumerate} \\ \textit{Rješenje.} Ovaj primjer tj. identiteti su bitniji od samog rješenje, budući da nemamo ništa pametnije napraviti nego pomnožiti desnu stranu i potvrditi da je jednaka lijevoj. \begin{enumerate} \item \begin{align*} &(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+ab^{n-2}+b^{n-1}) =\\[8pt] &=a^{n}+a^{n-1}b+a^{n-2}b^2+...+a^2b^{n-2}+ab^{n-1}+ \\ & \quad \quad -\Big(a^{n-1}b+a^{n-2}b^2+...+a^2b^{n-2}+ab^{n-1}+b^{n}\Big) \\[8pt] &= a^n-b^n. \end{align*} Radi preglednosti smo pisali pomnožene zagrade u dva reda te malo pomaknuli kako bi lakše vidjeli jednake članove, prvi redak je $a$ pomnožen sa drugom zagradom, dok je drugi redak $-b$ pomnožen sa istom tom drugom zagradom. \item \begin{align*} &(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+...-ab^{n-2}+b^{n-1}) =\\[8pt] &=a^{n}-a^{n-1}b+a^{n-2}b^2-...-a^2b^{n-2}+ab^{n-1}+ \\ & \quad \quad \text{ }+a^{n-1}b-a^{n-2}b^2+...+a^2b^{n-2}-ab^{n-1}+b^{n} \\[8pt] &= a^n+b^n. \end{align*} Primijetimo daje ključno da broj $n$ bude neparan, kako bi nam se poklopili predznaci te tako sve u sredini skratilo. \end{enumerate} \textit{Kao rješenje upišite 1.}