MetaMath '23

Izračunajte: $$\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+...+\frac{1}{99\cdot 100}.$$ \textit{Rješenje.} Očito nećemo računati pješke sve razlomke tj. svoditi na zajedničke nazivnike, moramo nekako pametnije. Također nipošto nije poseban broj $100$, mogli bi računati izraz i do $\frac{1}{1000\cdot 1001}$ ili do općenito nekog $\frac{1}{(n-1)\cdot n}$. Kad god to primijetimo i ne znamo kako pristupiti zadatku, nemamo nekih ideja, najbolje početi sa malim primjerima i nadati se uočavanju nekih pravilnosti, pa krenimo i mi tako. \begin{align*} &\frac{1}{1\cdot 2} = \frac{1}{2} \\ &\frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{2\cdot 3} = \frac{2}{3} \\ &\frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{2\cdot 3} + \frac{1}{3\cdot 4} = \frac{3}{4} \\ &\frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{2\cdot 3} + \frac{1}{3\cdot 4} + \frac{1}{4\cdot 5} = \frac{4}{5} \\ \end{align*} Doista postoji pravilnost, pretpostavljamo da će za općeniti slučaj biti $\frac{1}{1\cdot 2}+...+\frac{1}{(n-1)\cdot n} = \frac{n-1}{n}$. Sada se zadatak lako može riješiti matematičkom indukcijom, no mi ga ovdje nećemo tako. Koristit ćemo tehniku koja se, kasnijie će biti jasnije, zove \textit{teleskopiranje}. Naime, željeli bi rastaviti svaki razlomak na više razlomaka (ovdje će biti samo dva) tako da se neki od njih u konačnici ponište (sa preostalima). Opći član u sumi izgleda $$\frac{1}{k\cdot (k+1)}$$ gdje je $k$ prirodan broj, te ukoliko bi ga htjeli rastaviti na neka dva razlomka, jedino smisleno bi bilo da ti razlomci imaju $k$ i $k+1$ u nazivnicima no brojnike ćemo "namještati", probajmo naći koeficijente $a, b$ (ukoliko oni uopće postoje) takvi da $$\frac{1}{k\cdot (k+1)} = \frac{a}{k}+\frac{b}{k+1}.$$ Svođenjem lijeve strane na zajednički nazivnik te množenjem obje strane sa $k\cdot(k+1)$ dobivamo $$1 = a\cdot(k+1) + b\cdot k,$$ sada možemo grupirati koeficijente uz $k$, $$1 = (a+b)\cdot k + a.$$ Kako želimo da ta jednakost vrijedi za svaki $k$ prirodan broj, možemo izjednačiti koeficijente (drugi način bi bio uvrstiti neke dvije vrijednosti u $k$ kako bi dobili dvije jednadžbe s dvije nepoznanice), kako na lijevoj strani nemamo ništa uz $k$ (imamo samo $1$) onda izjednačavanje izgleda ovako \begin{align*} 0 &= a+b \\ 1 &= a \end{align*} ovaj sustav je lako riješiti te dobivamo jedinstveno rješenje (dakle postoji i jedino je takvo) $a=1, b=-1$, tj. naš rastav glasi $$\frac{1}{k\cdot (k+1)} = \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}.$$ Sada možemo to iskoristiti na svakom razlomku početne sume kako bi dobili $$(\frac{1}{1}-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+...+(\frac{1}{99}-\frac{1}{100}),$$ nakon poništavanja ostanu nam samo $$1-\frac{1}{100}.$$ \textit{Za rješenje upišite 2.}