MetaMath '23

Ako je $a+b+c = 0$, dokaži da vrijedi $abc = \frac{a^3+b^3+c^3}{3}$. \textit{Rješenje.} Motivacija za prvi korak trebala bi biti jasna, u željenoj jednakosti postoje treće potencije a jedinu jednakost koju imamo $a+b+c=0$ su samo prve, stoga ćemo sve potencirati na treću, \begin{align*} 0^3 &= (a+b+c)^3 \\ &= a^3+b^3+c^3+3a^2b+3ab^2+3b^2c+3bc^2+3c^2a+3ca^2+6abc \\ \end{align*} Sada možemo razmišljati obnuto, "unatrag", što nam je potrebno kako bismo dobili traženu jednakost? Na početku imamo željene treće potencije, dok na kraju umnožak $6abc$, no rastavimo li to na $9abc-3abc$, potrebno je jedino na središnji dio bude jednak $0$, tj. $$3a^2b+3ab^2+3b^2c+3bc^2+3c^2a+3ca^2+9abc,$$ jer bi tada imali $0 = a^3+b^3+c^3-3abc$ te bismo bili gotovi. Ponovno, jedino šta nam je dano jest $a+b+c=0$ stoga bi bili jako sretni ukoliko bi mogli nekako faktorizirati izraz na taj faktor. Svi članovi imaju faktor $3$ stoga možemo taj dio izlučiti te regrupirati \begin{align*} 3[a^2b+ab^2+b^2c&+bc^2+c^2a+ca^2+3abc] = \\ &=3[(a^2b+ab^2+abc)+(b^2c+bc^2+abc)+(c^2a+ca^2+abc)] = \\ &=3[ab(a+b+c)+bc(b+c+a)+ca(c+a+b)] = \\ &=3(a+b+c)[ab+bc+ca] = 0. \\ \end{align*} \textit{Rješenje ovog primjera je 3.}