MetaMath '23

Nađite sva realna rješenja jednadžbe $$\sqrt{2x-2\sqrt{2x-1}} - 2\sqrt{2x+3-4\sqrt{2x-1}} + 3\sqrt{2x+8-6\sqrt{2x-1}} = 4 \text{.}$$ \textit{Rješenje.} Prvo ćemo uočiti da se izraz $2x-1$ podosta puta ponavlja te bi ga mogli supstituirat, neka je $y = 2x-1$, tada izraz napisan preko $y$ izgleda $$\sqrt{y+1-2\sqrt{y}} - 2\sqrt{y+4-4\sqrt{y}} + 3\sqrt{y+9-6\sqrt{y}} = 4 \text{.}$$ Sada je lakše vidjeti kvadrate razlike ispod svakog korijena $$\sqrt{(\sqrt{y}-1)^2} - 2\sqrt{(\sqrt{y}-2)^2} + 3\sqrt{(\sqrt{y}-3)^2} = 4 \text{.}$$ Ovo je odlično budući da možemo poništiti korijene i kvadrate, no treba biti i oprezan budući da ne znamo kakav je broj koji kvadriramo (negativan ili pozitivan) a kako svaki korijen je pozitivan tada moramo staviti apsolutne vrijednosti prilikom poništavanja, tj. $$|\sqrt{y}-1|-2|\sqrt{y}-2|+3|\sqrt{y}-3| = 4.$$ Sada slijedi tehnički (samo računanje), ne tako lijep, dio zadatka u kojem svodimo na slučajeve, \begin{enumerate} \item $0\leq \sqrt{y} \leq 1$ $$1-\sqrt{y}-2(2-\sqrt{y})+3(3-\sqrt{y})=4$$ Nakon rješavanja dobivamo $\sqrt{y} = 1 \implies x=1.$ \item $1\leq \sqrt{y} \leq 2$ $$\sqrt{y}-1-2(2-\sqrt{y})+3(3-\sqrt{y})=4$$ Nakon rješavanja dobivamo $4=4$ što je istina uvijek, pa je rješenje ovog slučaja bilo koje (u tom intervalu) tj. cijeli interval $\sqrt{y} \in [1, 2] \implies x \in [1, \frac{5}{2}].$ \item $2\leq \sqrt{y} \leq 3$ $$\sqrt{y}-1-2(\sqrt{y}-2)+3(3-\sqrt{y})=4$$ Nakon rješavanja dobivamo $\sqrt{y} = 2 \implies x = \frac{5}{2}.$ \item $3\leq \sqrt{y}$ $$\sqrt{y}-1-2(\sqrt{y}-2)+3(\sqrt{y}-3)=4$$ Nakon rješavanja dobivamo $\sqrt{y} = 5 \implies x = 13.$ \end{enumerate} Dakle, rješenja tražene jednadžbe su svi brojevi $x \in [1, \frac{5}{2}]\cup \{13\}$. \textit{Kao rješenje upišite najveće rješenje zadane jednadžbe.}