MetaMath '23

Za prijevoz neke robe raspolažemo vrećama od $40 kg$ i $60 kg$. Koje sve kombinacije vreća od $40 kg$ i $60 kg$ se mogu uzeti da bi se prenijelo $500 kg$ robe? \textit{Rješenje:} Pokušajmo postaviti jednadžbu koja matematički objašnjava problem. Pretpostavimo da ćemo uzeti $x$ vreća od po $40 kg$ i $y$ vreća od po $60 kg$. Da bismo mogli robu prenijeti, potrebno je da vrijedi $40x + 60y = 500$. Promatranjem ove jednadžbe, možemo pokratiti obje strane sa $20$ da dobijemo $2x+3y=25$. Prebacivanjem $3y$ na desnu stranu i dijeljenjem sa $2$, dobijamo izraz za $x$ u zavisnosti od $y$ bez koeficijenta ispred $x$: $x = \frac{25-3y}{2}$. Ovo je prirodan broj te zaključujemo da je neophodno uzeti neparan broj vreća od $60 kg$. Samim tim, shvaćamo da je ovo i dovoljan uvjet. Možemo uzeti $y=1,3,5,\ldots$ ovih vreća i da pri tome uzmemo odgovarajući broj $40 kg$ vreća takvih da uspijemo prenijeti robu. Uvedimo supstituciju $y=2k-1$ gdje je $k$ neki prirodan broj. Uvrštavanjem u $x=\frac{25-3y}{2}$ imamo da su sva rješenja ove jednadžbe opisana $(x,y)=(14-3k,2k-1).$ Sada trebamo paziti da je $x$ prirodan broj ili nula (nema smisla uzeti negativan broj vreća). Dakle, konačno sva rješenja su: $(x,y)=(14-3k,2k-1)$ za svaki prirodan broj $k$ takav da $1 \leq k \leq 4$. \textit{Za rješenje upišite 1}