MetaMath '23

Riješiti diofantsku jednadžbu u skupu cijelih brojeva: \[ 3x+5y = 8 \] \textit{Rješenje:} Zapišimo jednadžbu na idući način: $3x = 8-5y$. Iz ovoga vidimo da kako $3$ dijeli lijevu stranu, to $3$ mora dijeliti i desnu stranu. S obzirom da $8$ daje ostatak $2$ pri dijeljenju sa $3$ (odnosno $8$ je kongruentno $2$ modulo $3$) to znači da $5y$ mora davati ostatak $2$ pri dijeljenju sa $3$ da bi desna strana bila djeljiva sa $3$. S obzirom da $5$ daje ostatak $2$ pri dijeljenju sa $3$, to znači da $y$ mora davati ostatak $1$ pri dijeljenju sa $3$ (provjerom ne može biti $0$ ili $2$ modulo $3$). Zapišimo sada $y$ u obliku $3k+1$. Uvrštavanjem u zadanu jednadžbu i dijeljenjem obje strane sa $3$ dobijamo $x = 1-5k$. Primijetimo da smo dobili jednoznačno određene $x,y$ u funkciji od parametra $k$. Zaključujemo su rješenja zadane jednadžbe svi parovi oblika $(1-5k, 3k+1)$ gdje je $k$ cijeli broj. \textbf{Uvjeriti se da ovakva procedura uvijek funkcionira i za opšti tip diofantske jednadžbe $ax+by=c$ te izvesti njeno generalno rješenje. Kada sigurno nećemo imati rješenja ovakve jednadžbe?} \textit{Za rješenje upišite 2}