MetaMath '23

Riješiti diofantsku jednadžbu u skupu prirodnih brojeva: \[ xy + x = 3y + 6\] \textit{Rješenje:} Primijetimo da možemo izvući $x$ sa lijeve strane i napisati jednadžbu na idući način: \[ x(y+1)=3y+6\] Sada možemo pokušati izvući $3$ sa desne strane ali nas to neće dovesti daleko. Probajmo izvući $3$ iz $y$ ali umjesto izvlačenja $3$ iz $6$, napišimo $6$ kao $3+3$ s ciljem pojavljivanja iste zagrade na desnoj kao i na lijevoj strani. Jednadžba postaje: \[ x(y+1)=3(y+1)+3 \]Prebacimo desnu zagradu lijevo i faktorizirajmo $y+1$ da dobijemo $(x-3)(y+1)=3$. Sada promotrimo lijevu stranu. Tu vidimo umnožak dva cijela broja. Na desnoj vidimo prosti broj $3$. Zaključujemo da zagrade na lijevoj strani čine permutaciju ili $(1,3)$ ili $(-1,-3)$. Potrebno je ispitati sva četiri slučaja da bismo sa sigurnošću utvrdili točan skup rješenja ove jednadžbe. Probajmo riješiti jedan slučaj: $x-3 = 1, y+1 =3$. Direktno dobijamo $x=4, y=2$. Analognim zaključivanjem na preostala tri slučaja dobijamo rješenja: $(x,y) \in \{ (4,2),(2,-4),(6,0),(0,-2) \}.$ \textbf{Da li se ovakvim postupkom mogu riješiti sve jednadžbe oblika $axy+bx+cy+d=0$ gdje su $a,b,c,d$ cijeli brojevi?} \textit{Za rješenje upišite 3.}