MetaMath '23

Riješiti jednadžbu u skupu prirodnih brojeva: $\frac 1a + \frac 1b+ \frac 1c = 1$. \textit{Rješenje:} Intuicija iza rješenja je da ne smiju sva tri broja $a,b,c$ istovremeno biti velika. Ako $a>3,b>3,c>3$ onda imamo da je izraz na lijevoj strani manji od jedan. Bez smanjenja opštosti, pretpostavimo $a\leq b\leq c$ što smijemo jer je jednadžba simetrična u ove tri varijable (kada zamijenimo uloge $a,b$ sa $b,a$ jednadžba se ne mijenja). Zaključujemo da $a \leq 3$ jer je najmanji od tri varijable. Sada razlikujemo tri slučaja: $a=1, \frac 1b + \frac 1c = 0$ kontradikcija. $a=2, \frac 1b+\frac 1c = \frac 12$. Odavdje slično radimo kao na početku: $b$ i $c$ ne mogu biti istovremeno veći od $4$. Opet bez smanjenja opštosti, $b\leq 4$. Slučaj $b=2$ nema rješenja, preostala dva imaju $(2,3,6),(2,4,4)$. $a=3$. Ovdje $\frac 1b + \frac 1c = \frac 23$. Bez smanjenja opštosti $b\leq 3$ odakle imamo jedno rješenje $(3,3,3)$. Dakle, sva rješenja su $(3,3,3),(2,3,6),(2,4,4)$ te njihove permutacije (zbog inicijalne pretpostavke za usmjerenje $a,b,c$). \textit{Za rješenje upišite 5}