Često je u zadacima s površinom, pogotovo u onima u kojima se pojavljuju četverokuti, korisno razmišljati o Talesovom poučku i omjerima.
Zadatak: Točke 
i 
leže na stranici 
pravokutnika 
tako da vrijedi 
. Pravac 
siječe pravce 
i 
redom u točkama 
i 
, a pravac 
siječe pravce i redom u točkama 
i 
. Odredite omjer površina četverokuta 
i pravokutnika .
Rješenje:
1. korak: Formula za površinu
Primijetimo da zbog simetrije vrijedi 
i 
, stoga su dijagonale četverokuta okomite. To znači da je površina četverokuta 
. Sada nam cilj postaje odrediti omjer 
i , te 
i 
. Označimo 
i 
.
2. korak: Računanje visine trokuta 
Za početak, primijetimo da su trokuti i 
slični, te da im je koeficijent sličnosti 
(jer je 
). To znači da je visina trokuta jednaka trećini visine . Jasno je da je zbroj te 
visine , stoga je 
.
3. korak: Računanje 
Lako je vidjeti da su trokuti 
i 
sukladni, te da im je zbroj visina jednak - zato su im visine 
. Zbog paralelnosti 
i , dužinu možemo prikazati kao razliku duljina visina i .
Zbog toga, 
.
4. korak: Računanje visine trokuta 
Primijetimo tako da su trokuti i 
slični, te im je koeficijent sličnosti 
. Kao i u drugom koraku, uočavamo da je zbroj visina ta trokuta , stoga je visina trokuta iz vrha jednaka 
.
5. korak: Računanje 
Kao i u 3. koraku, uočavamo sličnost trokuta 
i 
zbog paralelnosti i . Koeficijent sličnosti im je jednak omjeru visina. Kako i imaju jednaku visinu, koeficijent sličnosti im je 
.
Dakle 
, pa jer je 
, zaključujemo 
.
6. korak: Računanje površine
Sada znamo duljine i 
, pa lako računamo površinu kao 
Zaključujemo da je omjer površina 
Kao rješenje upišite 140
Često je u zadacima s površinom, pogotovo u onima u kojima se pojavljuju četverokuti, korisno razmišljati o Talesovom poučku i omjerima.
\textbf{Zadatak:} Točke $P$ i $Q$ leže na stranici $AB$ pravokutnika $ABCD$ tako da vrijedi $|AP| = |PQ| = |QB|$. Pravac $DQ$ siječe pravce $AC$ i $CP$ redom u točkama $K$ i $L$, a pravac $DB$ siječe pravce $AC$ i $CP$ redom u točkama $N$ i $M$.
Odredite omjer površina četverokuta $KLMN$ i pravokutnika $ABCD$.
\textbf{Rješenje:}
\\
\includegraphics{01a.png}
\\
\textbf{1. korak: Formula za površinu $KLMN$} \\ Primijetimo da zbog simetrije vrijedi $KM || AB$ i $LN || BC$, stoga su dijagonale četverokuta $KLMN$ okomite. To znači da je površina četverokuta $KLMN = \frac{KM\cdot LN}2$. Sada nam cilj postaje odrediti omjer $KM$ i $AB$, te $LN$ i $BC$. Označimo $a = |AB|$ i $b=|BC|$.
\textbf{2. korak: Računanje visine trokuta $PQL$} \\
Za početak, primijetimo da su trokuti $PQL$ i $DCL$ slični, te da im je koeficijent sličnosti $1:3$ (jer je $|DC| = 3|PQ|$). To znači da je visina trokuta $PQL$ jednaka trećini visine $DCL$. Jasno je da je zbroj te $2$ visine $BC$, stoga je $v_{PQ} = \frac{|BC|}4$.
\textbf{3. korak: Računanje $|NL|$} \\
Lako je vidjeti da su trokuti $ABN$ i $DCN$ sukladni, te da im je zbroj visina jednak $BC$ - zato su im visine $\frac{|BC|}2$. Zbog paralelnosti $NL$ i $BC$, dužinu $|NL|$ možemo prikazati kao razliku duljina visina $ABN$ i $PQL$.
Zbog toga, $|NL| = \frac{|BC|}4$.
\textbf{4. korak: Računanje visine trokuta $CDK$}
\\
Primijetimo tako da su trokuti $CDK$ i $AQK$ slični, te im je koeficijent sličnosti $\frac{AQ}{CD} = \frac 23$. Kao i u drugom koraku, uočavamo da je zbroj visina ta $2$ trokuta $BC$, stoga je visina trokuta $CDK$ iz vrha $K$ jednaka $\frac 35 b$.
\textbf{5. korak: Računanje $|KM|$}
\\
Kao i u 3. koraku, uočavamo sličnost trokuta $CAP$ i $CKM$ zbog paralelnosti $KM$ i $AB$. Koeficijent sličnosti im je jednak omjeru visina. Kako $CDK$ i $CKM$ imaju jednaku visinu, koeficijent sličnosti im je $\frac 35$.
Dakle $\frac {|KM|}{|AP|} = \frac 35$, pa jer je $|AP| = \frac a3$, zaključujemo $|KM| = \frac a5$.
\textbf{6. korak: Računanje površine}
\\
Sada znamo duljine $|KM|$ i $|LN|$, pa lako računamo površinu $KLMN$ kao
$$\frac 12 |KM|\cdot |LN| = \frac 12 \cdot \frac 35 b \cdot \frac a5 = \frac 1{40} ab$$
Zaključujemo da je omjer površina $1:40$
\\\\
Kao rješenje upišite 140
