MetaMath '23 - Školjka

Vrijeme: 11:51

Površine - Primjer 4

Promotrimo još jedan zadatak gdje nam je korisno primijeniti Pitagorin poučak da bismo mogli izjednačiti 2 formule za površinu trokuta.

Zadatak: Dana je dužina $AD$ duljine $3$ . Neka su $B$ i $C$ ( $C \neq A$ ) točke na kružnici s promjerom $AD$ takve da vrijedi $|AB| = |BC| = 1$ . Izračunaj $|CD|$ .

Rješenje:

$Attachment 000a.png$
1. korak: Uočimo pravokutni trokut
Zbog Talesovog poučka o obodnom kutu nad promjerom kružnice, vrijedi da je kut $\angle ACD$ pravi. Zato je $ACD$ pravokutan, pa ćemo $CD$ izračunati korištenjem Pitagorinog poučka: $|CD| = \sqrt{|AD|^2 - |AC|^2} = \sqrt{9- |AC|^2}$

2 korak: Poveznica $AC$ i $B$
Sad želimo saznati koliki je $AC$ . Kako imamo točku $B$ koju još nismo iskoristili, a znamo da je $|AB| = |BC|$ , slutimo da bi ih nekako trebalo povezati. Zato označimo sa $S$ središte kružnice, te s $T$ označavamo sjecište $AC$ i $BS$ .

Promotrimo sada trokute $ABS$ i $BCS$ . Kako znamo da su $\angle ASB$ i $\angle CSB$ jednaki, lako (iz jednakokračnih trokuta kojima su krakovi radijusi kružnice) vidimo da su i $\angle ABS$ i $\angle CBS$ jednaki. Sada po poučku $SKS$ o sukladnosti dobijemo da su trokuti $ABS$ i $CBS$ sukladni pa zaključujemo da je $|AT| = |TC|$ , a iz toga $|AC| = 2 |AT|$ .

3 korak: Računamo površinu ABS
|AT| je visina jednakokračnog trokuta $\triangle ABS$ na krak. Kako tom trokutu znamo sve stranice (radijusi $\frac 32$ , $|AB| = 1$ ), izračunajmo mu površinu.

Kako je jednakokračan, lako mu dobijamo visinu na osnovicu koristeći Pitagorin poučak na pravokutni trokut čije su stranice jedan krak, pola osnovice i visina.

$v_a = \sqrt{\frac 94 - \frac 14} = \sqrt 2$

Sada lako dobijamo da je površina trokuta $\frac {|AB| \cdot v_a}2 = \frac{\sqrt{2}}2$

4 korak: Računamo AT
Sada jednostavno prikažemo površinu $\triangle ABS$ kao pola umnoška kraka i visine na krak.

$\frac 12 |AT|\cdot \frac 32 = \frac {\sqrt 2}2$

Sada jednostavno vidimo da je $|AT| = \frac{2\sqrt 2}3$ .

5 korak: Računamo CD
Zaključujemo da je $|AC|= 2|AT|= \frac {4\sqrt 2}3$ .

Uvrštavanjem u Pitagorin poučak, $|CD| = \sqrt{|AD|^2 - |AC|^2} = \sqrt{9- \frac{32}9} = \frac 73$

Kao rješenje upišite "Tales"

Promotrimo još jedan zadatak gdje nam je korisno primijeniti Pitagorin poučak da bismo mogli izjednačiti 2 formule za površinu trokuta. \textbf{Zadatak:} Dana je dužina $AD$ duljine $3$. Neka su $B$ i $C$ ($C \neq A$) točke na kružnici s promjerom $AD$ takve da vrijedi $|AB| = |BC| = 1$. Izračunaj $|CD|$. \textbf{Rješenje:} \\ \includegraphics{000a.png} \\ \textbf{1. korak: Uočimo pravokutni trokut} \\ Zbog Talesovog poučka o obodnom kutu nad promjerom kružnice, vrijedi da je kut $\angle ACD$ pravi. Zato je $ACD$ pravokutan, pa ćemo $CD$ izračunati korištenjem \textbf{Pitagorinog poučka}: $$|CD| = \sqrt{|AD|^2 - |AC|^2} = \sqrt{9- |AC|^2}$$ \textbf{2 korak: Poveznica $AC$ i $B$} \\ Sad želimo saznati koliki je $AC$. Kako imamo točku $B$ koju još nismo iskoristili, a znamo da je $|AB| = |BC|$, slutimo da bi ih nekako trebalo povezati. Zato označimo sa $S$ središte kružnice, te s $T$ označavamo sjecište $AC$ i $BS$. Promotrimo sada trokute $ABS$ i $BCS$. Kako znamo da su $\angle ASB$ i $\angle CSB$ jednaki, lako (iz jednakokračnih trokuta kojima su krakovi radijusi kružnice) vidimo da su i $\angle ABS$ i $\angle CBS$ jednaki. Sada po poučku $SKS$ o sukladnosti dobijemo da su trokuti $ABS$ i $CBS$ sukladni pa zaključujemo da je $|AT| = |TC|$, a iz toga $|AC| = 2 |AT|$. \textbf{3 korak: Računamo površinu ABS} \\ |AT| je visina jednakokračnog trokuta $\triangle ABS$ na krak. Kako tom trokutu znamo sve stranice (radijusi $\frac 32$ , $|AB| = 1$), izračunajmo mu površinu. Kako je jednakokračan, lako mu dobijamo visinu na osnovicu koristeći Pitagorin poučak na pravokutni trokut čije su stranice jedan krak, pola osnovice i visina. $$v_a = \sqrt{\frac 94 - \frac 14} = \sqrt 2$$ Sada lako dobijamo da je površina trokuta $\frac {|AB| \cdot v_a}2 = \frac{\sqrt{2}}2$ \textbf{4 korak: Računamo AT} \\Sada jednostavno prikažemo površinu $\triangle ABS$ kao pola umnoška kraka i visine na krak. $$\frac 12 |AT|\cdot \frac 32 = \frac {\sqrt 2}2$$ Sada jednostavno vidimo da je $|AT| = \frac{2\sqrt 2}3$. \textbf{5 korak: Računamo CD} \\ Zaključujemo da je $|AC|= 2|AT|= \frac {4\sqrt 2}3$. Uvrštavanjem u Pitagorin poučak, $$|CD| = \sqrt{|AD|^2 - |AC|^2} = \sqrt{9- \frac{32}9} = \frac 73$$ \\ \\ Kao rješenje upišite "Tales"