MetaMath '23

\textbf{Primjer 2:} Na otoku se nalazi $12$ crvenih kameleona, $14$ plavih i $16$ zelenih. Kada se sretnu dva kameleona različitih boja, oba promijene boju u onu treću. Može li se dogoditi da svi kameleoni postanu iste boje? \textbf{Rješenje:} U ovom zadatku invarijanta je već malo suptilnija nego u prethodnom primjeru. Najbolji način za početi zadatak je simulirati nekoliko koraka i probati uočiti neku pravilnost u broju crvenih, plavih i zelenih kameleona. U svakom koraku kad se susretnu dva kameleona različitih boja, broj kameleona tih boja se smanji za $1$ dok se broj kameleona treće boje poveća za $2$. Tražimo nešto što je isto kad mu oduzmemo $1$ ili mu dodamo $2$. To nas dovodi do promatranja ostataka broja kameleona pri dijeljenju s brojem $3$. Kako se prilikom svakog sudara broj kameleona pojedine boje ili poveća za $2$ ili smanji za $1$, zaključujemo da se u svakom susretu ostatak pri dijeljenju broja pripadnika svake vrste s 3 promijeni, i to tako da se poveća točno za dva. Na početku su svi ostatci broja kameleona pojedine vrste pri dijeljenju s $3$ međusobno različiti, te će stoga takvi i ostati nakon svakog poteza. Kada bi mogli postići da svi kameleoni budu iste boje, ostaci broja svih vrsta pri dijeljenju s $3$ bi bili jednaki $0$, što je nemoguće. Za dobivanje $1$ boda za ovaj primjer unesite broj $2$ kao rješenje zadatka.