Primjer 2. Gargamel je uhvatio 
Štrumfova i raspodijelio ih u tri vreće. Kad je Papu Štrumfa iz prve vreće premjestio u drugu, Mrguda iz druge u treću, a Štrumfetu iz treće u prvu, prosječna visina Štrumfova u prvoj vreći se smanjila za 
milimetara, a prosječne visine Štrumfova u drugoj i trećoj vreći su se povećale redom za 
milimetara i milimetara. Ako je u prvoj vreći bilo devet Štrumfova, odredite .
Rješenje. Za početak ćemo se baviti linearnim sustavom jednadžbi, tj. postavljanju takvog sustava iz nekog teksta. Za početak, neka je u drugoj vreći bilo 
, a u trećoj vreći 
Štrumfova. Analizirajmo zadatak dio po dio i slažimo jednadžbe.
Neka je 
visina Pape Štrumfa, 
visina Mrguda i 
visina Štrumfete. Kako je iz svake vreće premjestio nekog u drugu broj po vrećama je ostao isti, samo se prosječna visina promjenila. Neka su 
visine Štrumfova koji su ostali u prvoj vreći, tada je njihova prosječna visina na početku bila 
, a nakon promjene 
te znamo da je druga prosječna visina smanjila za , tj. u obliku jednadžbe to je 
Isto tako postavljamo jednadžbe za prosjek u drugim dvjema vrećama i dobivamo 
Sada imamo sustav 
Zbrajanjem sve 3 jednadžbe nam se pokrate 
te imamo 
što je diofantska jednadžba za 
. Vidimo da dijeli 
, a i 
pa treba dijeliti i 
što znači da je višekratnik broja . Ako imamo 
tada je 
pa imamo da je 
, a zbroj treba biti 72 pa je taj slučaj nemoguć. Dakle, nužno vrijedi 
i iz toga dobijemo 
pa je 
.
Kako biste dobili bod na ovom zadatku, upišite 2 kao rješenje.
\textbf{Primjer 2.} Gargamel je uhvatio $N$ Štrumfova i raspodijelio ih u tri vreće. Kad je Papu Štrumfa iz prve vreće premjestio u drugu, Mrguda iz druge u treću, a Štrumfetu iz treće u prvu, prosječna visina Štrumfova u prvoj vreći se smanjila za $8$ milimetara, a prosječne visine Štrumfova u drugoj i trećoj vreći su se povećale redom za $5$ milimetara i $8$ milimetara. Ako je u prvoj vreći bilo devet Štrumfova, odredite $N$.
\textbf{Rješenje.} Za početak ćemo se baviti linearnim sustavom jednadžbi, tj. postavljanju takvog sustava iz nekog teksta. Za početak, neka je u drugoj vreći bilo $K$, a u trećoj vreći $L$ Štrumfova. Analizirajmo zadatak dio po dio i slažimo jednadžbe.
Neka je $x$ visina Pape Štrumfa, $y$ visina Mrguda i $z$ visina Štrumfete. Kako je iz svake vreće premjestio nekog u drugu broj po vrećama je ostao isti, samo se prosječna visina promjenila. Neka su $x_1,x_2,..,x_8$ visine Štrumfova koji su ostali u prvoj vreći, tada je njihova prosječna visina na početku bila $\dfrac{x_1+x_2+\ldots+x_8+x}{9}$, a nakon promjene $\dfrac{x_1+x_2+\ldots+x_8+z}{9}$ te znamo da je druga prosječna visina smanjila za $8$, tj. u obliku jednadžbe to je
\begin{align*}
\dfrac{x_1+x_2+\ldots+x_8+x}{9}&=8+\dfrac{x_1+x_2+\ldots+x_8+z}{9}\\
\frac{x}{9}&=8+\frac{z}{9}
\end{align*}
Isto tako postavljamo jednadžbe za prosjek u drugim dvjema vrećama i dobivamo
\[5+\frac{y}{K}=\frac{x}{K},\quad8+\frac{z}{L}=\frac{y}{L}\]
Sada imamo sustav
\begin{align*}
x+72&=z\\
5K+y&=x\\
8L+z&=y
\end{align*}
Zbrajanjem sve 3 jednadžbe nam se pokrate $x,y,z$ te imamo $72=5K+8L$ što je diofantska jednadžba za $K,L$. Vidimo da $8$ dijeli $72$, a i $8L$ pa treba dijeliti i $5K$ što znači da je $K$ višekratnik broja $8$. Ako imamo $K>8$ tada je $K\geq16$ pa imamo da je $5K+8L\geq80$, a zbroj treba biti 72 pa je taj slučaj nemoguć. Dakle, nužno vrijedi $K=8$ i iz toga dobijemo $L=4$ pa je $N=K+L+9=21$.
Kako biste dobili bod na ovom zadatku, upišite 2 kao rješenje.
