MetaMath '23

\textbf{Primjer 4.} Nađite sve uređene parove realnih brojeva $(a,b)$ koji su rješenja sustava \begin{align*} a(a+1)+b(b+1)&=12\\ (a+1)(b+1)&=4 \end{align*} \textbf{Rješenje} Kao i u prošlom zadatku, ovdje ćemo se poslužiti trikom. Kada raspišemo ove izraze imamo \begin{align*} a^2+a+b^2+b&=12\\ ab+a+b&=3 \end{align*} U ovom obliku ne možemo puno toga napraviti, izraziti $a$ preko $b$ će nas samo dovest do nekih ludih razlomaka i visokih potencija, ali u jednadžbi nam se pojavljuje zbroj i umnožak brojeva $a$ i $b$, a zbroj kvadrata se lako izrazi preko njih. Pa, što ako mi ovo pokušamo riješiti za $a+b$ i $ab$? Druga jednadžba će nam postati linearna a prva će biti kvadratna, s tim možemo vrlo lako raditi. I tako, stavimo $x=a+b$, $y=ab$ te iz toga i dobijemo $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=x^2-2y$. Sada imamo \begin{align*} x^2-2y+x&=12\\ x+y&=3 \end{align*} Sada možemo pomnožiti 2. jednadžbu s 2 i dodati ju prvoj te imamo \begin{align*} x^2+3x-18&=0\\ (x-3)(x+6)&=0 \end{align*} Sada za $x=3$ imamo $y=0$ odnosno $a+b=3, ab=0$ pa su rješenje $(0,3),(3,0)$ te za $x=-6$ imamo $y=9$. Sada primjetimo da ako su $x_1,x_2$ nultočke kvadratne, tj. $(x-x_1)(x-x_2)=0$ tada raspisivanjem imamo $x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0$, pa kako imamo što je $a+b$ i $ab$ možemo to odmah uvrstiti u kvadratnu kojoj će rješenja biti $a,b$ \begin{align*} t^2-(a+b)t+ab&=0\\ t^2+6t+9&=0\\ (t+3)^2&=0\\ t&=-3 \end{align*} Dakle, rješenje kvadratne, a i ujedno vrijednosti od $a,b$ su $-3$ pa su sve uređene trojke $(a,b)$ tada $(0,3),(3,0),(-3,-3)$. Kako biste dobili bod na ovom zadatku kao rješenje upišite 4.