MetaMath '23 - Školjka

Vrijeme: 22:30

Modularna aritmetika u diofantskim jednadžbama - Primjer 1

Promatrati ostatke koje članovi u jednadžbi daju prilikom dijeljenja nekim brojem $N$ često kažemo kraće kao promatrati jednadžbu modulo $N$ .

Do sada smo možda najčešće gledali jednadžbe modulo $2$ (parnost izraza u jednadžbi) ili modulo $10$ (zadnja znamenka izraza), no možemo birati i druge module. Dapače, češće ćemo moći nešto više zaključiti gledajući modulo neki drugi $N$ .

Kako izabrati $N$ ? $\begin{itemize} \item Brojevi koji se već pojavljuju u jednadžbama -- ako već imamo neki broj u jednadžbi, ili ako vidimo da će nekoliko sumanada zbog tog broja biti djeljivo neki brojem $N$, to za preostale članove u jednadžbi znači da imamo manje slučajeva za gledati ako gledamo jednadžbu modulo $N$. \item Ako u jednadžbi imamo izraze oblika $2^a$, $3^b$, ... -- u tim slučajevima, može biti korisno jednadžbu modulo $2$ ili $3$ redom, u vidu prošle natuknice, a možemo gledati i modulo $4$ ili $8$, te $9$ redom, nadajući se da ćemo moći zaključiti da za $a$ veće od $2$ ili $3$, odnosno za $b$ veće od $2$ jednadžba nema rješenja. \item Ako u jednadžbi imamo potpun kvadrat -- u tim slučajevima korisni su moduli $3$, $4$ i $8$, vidjet ćemo kasnije zašto. \item Ako u jednadžbi imamo potpun kub -- u tim slučajevima može biti korisno gledati jednadžbu modulo $7$. \item Ako nemamo druge ideje, onda redom $2,3,4,5,7,8,9,\ldots$ (nema smisla gledati modulo $6$ i $10$ ako smo gledali modulo $2$ i $3$, odnosno $2$ i $5$). \end{itemize}$

Vratimo se na potpune kvadrate. Naime, promatrajući potpune kvadrate i njihove ostatke modulo $3$ , $4$ i $8$ , možemo zaključiti: $\begin{itemize} \item potpuni kvadrati daju ostatak $0$ ili $1$ modulo $3$; \item potpuni kvadrati daju ostatak $0$ ili $1$ modulo $4$; \item potpuni kvadrati daju ostatak $0$, $1$ ili $4$ modulo $8$. \end{itemize}$ Dokažimo tvrdnju za modulo $3$ , pozivamo vas da vi dokažete preostale tvrdnje. To možemo napraviti koristeći kongruencije, koristeći mali Fermatov teorem, ili koristeći zapis $n = 3k+l$ , gdje je $l \in \{ 0,1,2 \}$ mogući ostatak koji $n$ daje pri dijeljenju s $3$ .

Svaki broj $n$ zapisiv je kao $3k$ , $3k+1$ ili $3k+2$ , ovisno o ostatku modulo $3$ . Kvadrati tih brojeva su $\begin{multline*} (3k)^2 = 9k^2 = 3 \cdot (3k^2), \ (3k+1)^2 = 9k^2 + 6k +1 = 3 \cdot (3k^2 + 2k) + 1, \\ (3k+2)^2 = 9k^2 + 12k +4 = 3 \cdot (3k^2 + 4k + 1) + 1 . \end{multline*}$ Odavde zaista vidimo da svaka mogućnost vodi na ostatak $0$ ili $1$ modulo $3$ .

Prije nastavka, osvrnimo se i na potpune kubove: $\begin{itemize} \item potpuni kubovi daju ostatak $0$, $1$ ili $6$ modulo $7$. \end{itemize}$

Pogledajmo jedan primjer kako ovo iskoristiti.

Primjer.

Odredi rješenja jednadžbe $x^2 + y^2 - 4z = 15$ u cijelim brojevima.

Rješenje.

Budući da nam se javljaju potpuni kvadrati, možemo gledati ostatke modulo $3$ , $4$ ili $8$ . Nadalje, kako imamo član $4z$ , nema smisla gledati jednadžbu modulo $3$ , budući da čak ako članovi ostatci brojeva $x^2$ i $y^2$ imaju reducirani skup mogućnosti, broj $4z$ može davati bilo koji ostatak modulo $3$ .

Zato pogledajmo jednadžbu modulo $4$ . Desna strana daje ostatak $3$ . Član $4z$ uvijek je djeljiv s $4$ . Na kraju, svaki od kvadrata $x^2$ , $y^2$ može davati ostatak nula ili jedan, pa njihova suma može davati ostatke $0+0$ , $0+1$ , $1+0$ ili $1+1$ .

Kada sve to zajedno spojimo, lijeva strana može davati ostatke $0$ , $1$ ili $2$ pri dijeljenju s $4$ , dok desna daje ostatak $3$ , neovisno o odabiru cijelih brojeva $x$ , $y$ i $z$ . Odavde zaključujemo da jednadžba nema rješenja u cijelim brojevima.

Da smo odabrali neki drugi $N$ i gledali jednadžbu modulo taj $N$ , no dobili da postoji slučaj u kojem lijeva i desna strana daju isti ostatak, sigurno ne bismo mogli zaključiti da jednadžba zato ima ili nema rješenja. No, tada bismo možda mogli zaključiti nešto drugo.

Upišite 1 za nastavak.

Promatrati ostatke koje članovi u jednadžbi daju prilikom dijeljenja nekim brojem $N$ često kažemo kraće kao \textit{promatrati jednadžbu modulo $N$}. Do sada smo možda najčešće gledali jednadžbe modulo $2$ (parnost izraza u jednadžbi) ili modulo $10$ (zadnja znamenka izraza), no možemo birati i druge module. Dapače, češće ćemo moći nešto više zaključiti gledajući modulo neki drugi $N$. Kako izabrati $N$? \begin{itemize} \item Brojevi koji se već pojavljuju u jednadžbama -- ako već imamo neki broj u jednadžbi, ili ako vidimo da će nekoliko sumanada zbog tog broja biti djeljivo neki brojem $N$, to za preostale članove u jednadžbi znači da imamo manje slučajeva za gledati ako gledamo jednadžbu modulo $N$. \item Ako u jednadžbi imamo izraze oblika $2^a$, $3^b$, ... -- u tim slučajevima, može biti korisno jednadžbu modulo $2$ ili $3$ redom, u vidu prošle natuknice, a možemo gledati i modulo $4$ ili $8$, te $9$ redom, nadajući se da ćemo moći zaključiti da za $a$ veće od $2$ ili $3$, odnosno za $b$ veće od $2$ jednadžba nema rješenja. \item Ako u jednadžbi imamo potpun kvadrat -- u tim slučajevima korisni su moduli $3$, $4$ i $8$, vidjet ćemo kasnije zašto. \item Ako u jednadžbi imamo potpun kub -- u tim slučajevima može biti korisno gledati jednadžbu modulo $7$. \item Ako nemamo druge ideje, onda redom $2,3,4,5,7,8,9,\ldots$ (nema smisla gledati modulo $6$ i $10$ ako smo gledali modulo $2$ i $3$, odnosno $2$ i $5$). \end{itemize} Vratimo se na potpune kvadrate. Naime, promatrajući potpune kvadrate i njihove ostatke modulo $3$, $4$ i $8$, možemo zaključiti: \begin{itemize} \item potpuni kvadrati daju ostatak $0$ ili $1$ modulo $3$; \item potpuni kvadrati daju ostatak $0$ ili $1$ modulo $4$; \item potpuni kvadrati daju ostatak $0$, $1$ ili $4$ modulo $8$. \end{itemize} Dokažimo tvrdnju za modulo $3$, pozivamo vas da vi dokažete preostale tvrdnje. To možemo napraviti koristeći kongruencije, koristeći mali Fermatov teorem, ili koristeći zapis $n = 3k+l$, gdje je $l \in \{ 0,1,2 \}$ mogući ostatak koji $n$ daje pri dijeljenju s $3$. Svaki broj $n$ zapisiv je kao $3k$, $3k+1$ ili $3k+2$, ovisno o ostatku modulo $3$. Kvadrati tih brojeva su \begin{multline*} (3k)^2 = 9k^2 = 3 \cdot (3k^2), \ (3k+1)^2 = 9k^2 + 6k +1 = 3 \cdot (3k^2 + 2k) + 1, \\ (3k+2)^2 = 9k^2 + 12k +4 = 3 \cdot (3k^2 + 4k + 1) + 1 . \end{multline*} Odavde zaista vidimo da svaka mogućnost vodi na ostatak $0$ ili $1$ modulo $3$. Prije nastavka, osvrnimo se i na potpune kubove: \begin{itemize} \item potpuni kubovi daju ostatak $0$, $1$ ili $6$ modulo $7$. \end{itemize} Pogledajmo jedan primjer kako ovo iskoristiti. \textbf{Primjer.} Odredi rješenja jednadžbe $x^2 + y^2 - 4z = 15$ u cijelim brojevima. \textbf{Rješenje.} Budući da nam se javljaju potpuni kvadrati, možemo gledati ostatke modulo $3$, $4$ ili $8$. Nadalje, kako imamo član $4z$, nema smisla gledati jednadžbu modulo $3$, budući da čak ako članovi ostatci brojeva $x^2$ i $y^2$ imaju reducirani skup mogućnosti, broj $4z$ može davati bilo koji ostatak modulo $3$. Zato pogledajmo jednadžbu modulo $4$. Desna strana daje ostatak $3$. Član $4z$ uvijek je djeljiv s $4$. Na kraju, svaki od kvadrata $x^2$, $y^2$ može davati ostatak nula ili jedan, pa njihova suma može davati ostatke $0+0$, $0+1$, $1+0$ ili $1+1$. Kada sve to zajedno spojimo, lijeva strana može davati ostatke $0$, $1$ ili $2$ pri dijeljenju s $4$, dok desna daje ostatak $3$, neovisno o odabiru cijelih brojeva $x$, $y$ i $z$. Odavde zaključujemo da jednadžba nema rješenja u cijelim brojevima. Da smo odabrali neki drugi $N$ i gledali jednadžbu modulo taj $N$, no dobili da postoji slučaj u kojem lijeva i desna strana daju isti ostatak, sigurno ne bismo mogli zaključiti da jednadžba zato ima ili nema rješenja. No, tada bismo možda mogli zaključiti nešto drugo. Upišite 1 za nastavak.