MetaMath '23

\textbf{Primjer}: Zadan je tetivan četverokut $ABCD$. Pravci $AB$ i $CD$ sijeku se u točki $P$, a pravci $AD$ i $BC$ u točki $Q$. Krugovi opisani oko trokuta $PBC$ i $QAB$ imaju zajedničku tetivu $BR$. Dokaži da su točke $P, Q, R$ kolinearne. \\ \\ \textbf{Rješenje}: \\ \\ Postoje različiti alati dokazivanja kolinearnosti, ali možda najosnovniji je uz pomoć računanja kuteva. Kolinearnost možemo dokazati tako što pokažemo da je zbroj onih kuteva koji bi bili suplementni ukoliko kolinearnost vrijedi jednak baš $180^{\circ}$. U našem primjeru dovoljno je dokazati $\angle QRB + \angle PRB = 180^{\circ}$ Primijetimo da je $\angle PRB = \angle PCB$, te da je $\angle QRB = \angle QAB$ iz tetivnosti četverokuta $PBCR$ i $QBAR$ redom. Kako je i četverokut $ABCD$ tetivan vrijedi $\angle DAB + \angle DCB = 180^{\circ}$, odnosno $\angle QRB + \angle PRB = 180^{\circ}$, odakle slijedi kolinearnost točaka $P, R, Q$. \begin{center}      \includegraphics{osmi.png}  \end{center} Za one koji žele malo više istražiti ovu konfiguraciju preporučam da istražite \href{https://yufeizhao.com/olympiad/cyclic_quad.pdf}{Mikelov teorem} \\ \\ Upišite $1$ za nastavak.