MetaMath '23 - Školjka

Vrijeme: 11:31

Kolinearnost i kopunktalnost - Primjer 3

Primjer: Neka je $ABCD$ kvadrat i $k$ kružnica sa središtem u točki $B$ koja prolazi točkama $A$ i $C$ , te neka je $T$ točka na kružnici $k$ unutar danog kvadrata. Tangenta na kružnicu $k$ u točki $T$ siječe dužine $CD$ i $DA$ redom u točkama $E$ i $F$ . Neka su $G$ i $H$ redom sjecišta pravaca $BE$ i $BF$ s dužinom $AC$ . Dokaži da pravci $BT, EH$ i $FG$ prolaze istom točkom.

Rješenje: Ovaj zadatak je vjerojatno i poznat dijelu auditorija budući da se radi o zadatku sa HJMO 2018. Ipak, ovdje je jer nam dobro služi kao ilustracija da je nekad zgodan način za dokazati da se tri pravca sijeku u istoj točki da uočimo da se radi o nekoj karakterističnoj točki nekog trokuta na skici.

$Attachment hjmo.png$

Točke $A, C$ i $T$ leže na kružnici $k$ , a pravci $AD, CD$ i $EF$ su tangente na k u tim točkama. Budući da je $B$ središte, a $EF$ tangenta u $T$ , vrijedi $BT \perp EF$ . Uočimo da su $A$ i $T$ dirališta tangenti povučenih iz točke $F$ na kružnicu $k$ , pa vrijedi $AF=FT$ . Sada vidimo da su trokuti $ABF$ i $TBF$ sukladni.Analogno je $ET=EC$ i trokuti $BCE$ i $BTE$ su sukladni.
Označimo $\angle ABF = \angle FBT = \alpha$ i $CBE = EBT = \beta$ . Kako je $\angle ABC = 2\alpha+ 2\beta$ , slijedi $\alpha+\beta=45^{\circ}$ . Vrijedi $\angle AFB = 90^{\circ}-\angle ABF = 90^{\circ} - \alpha= 45^{\circ} + \beta$ . Kako je $\angle AGB$ vanjski kut trokuta $BCG$ , vrijedi $\angle AGB = \angle GBC + \angle BCA = 45^{\circ} + \beta$ . Dakle, $\angle AGB = \angle AFB$ .
Kako su $F$ i $G$ s iste strane pravca $AB$ , iz $\angle AGB = \angle AFB$ slijedi da je četverokut $ABGF$ tetivan. Stoga je $\angle BGF = 180^{\circ}-\angle BAF = 90^{\circ}$ . Dakle, dokazali smo da je $FG \perp BE$ .
Analogno se pokazuje da je četverokut $BCEH$ tetivan te $EH \perp BF$ . Dokazali smo dakle da su dužine $FG$ i $EH$ visine trokuta $BEF$ , a kako je i BT visina tog trokuta, zaključujemo da se pravci $FG, EH$ i $BT$ sijeku u jednoj točki, ortocentru tog trokuta.

Upišite $1$ za nastavak.

\textbf{Primjer}: Neka je $ABCD$ kvadrat i $k$ kružnica sa središtem u točki $B$ koja prolazi točkama $A$ i $C$, te neka je $T$ točka na kružnici $k$ unutar danog kvadrata. Tangenta na kružnicu $k$ u točki $T$ siječe dužine $CD$ i $DA$ redom u točkama $E$ i $F$. Neka su $G$ i $H$ redom sjecišta pravaca $BE$ i $BF$ s dužinom $AC$. Dokaži da pravci $BT, EH$ i $FG$ prolaze istom točkom. \\ \\ \textbf{Rješenje}: Ovaj zadatak je vjerojatno i poznat dijelu auditorija budući da se radi o zadatku sa HJMO 2018. Ipak, ovdje je jer nam dobro služi kao ilustracija da je nekad zgodan način za dokazati da se tri pravca sijeku u istoj točki da uočimo da se radi o nekoj karakterističnoj točki nekog trokuta na skici. \begin{center} \includegraphics{hjmo.png} \end{center} Točke $A, C$ i $T$ leže na kružnici $k$, a pravci $AD, CD$ i $EF$ su tangente na k u tim točkama. Budući da je $B$ središte, a $EF$ tangenta u $T$, vrijedi $BT \perp EF$. Uočimo da su $A$ i $T$ dirališta tangenti povučenih iz točke $F$ na kružnicu $k$, pa vrijedi $AF=FT$. Sada vidimo da su trokuti $ABF$ i $TBF$ sukladni.Analogno je $ET=EC$ i trokuti $BCE$ i $BTE$ su sukladni. \\ Označimo $\angle ABF = \angle FBT = \alpha$ i $CBE = EBT = \beta$. Kako je $\angle ABC = 2\alpha+ 2\beta$, slijedi $\alpha+\beta=45^{\circ}$. Vrijedi $\angle AFB = 90^{\circ}-\angle ABF = 90^{\circ} - \alpha= 45^{\circ} + \beta$. Kako je $\angle AGB$ vanjski kut trokuta $BCG$, vrijedi $\angle AGB = \angle GBC + \angle BCA = 45^{\circ} + \beta$. Dakle, $\angle AGB = \angle AFB$. \\ Kako su $F$ i $G$ s iste strane pravca $AB$, iz $\angle AGB = \angle AFB$ slijedi da je četverokut $ABGF$ tetivan. Stoga je $\angle BGF = 180^{\circ}-\angle BAF = 90^{\circ}$. Dakle, dokazali smo da je $FG \perp BE$. \\ Analogno se pokazuje da je četverokut $BCEH$ tetivan te $EH \perp BF$. Dokazali smo dakle da su dužine $FG$ i $EH$ visine trokuta $BEF$, a kako je i BT visina tog trokuta, zaključujemo da se pravci $FG, EH$ i $BT$ sijeku u jednoj točki, ortocentru tog trokuta. \\ \\ Upišite $1$ za nastavak.