MetaMath '23

\textbf{Primjer}: Neka je $H$ ortocentar šiljastokutnog trokuta $ABC$, a $M$ polovište stranice $BC$. Ako su $D$ i $E$ redom nožišta okomica iz točke $H$ na simetralu unutarnjeg i vanjskog kuta kod vrha $A$, dokazati da su točke $M,D,E$ kolinearne. \\ \\ \textbf{Rješenje}: Slično kao što točka u kojoj se sijeku pravci može ispasti neka specijalna točka, tako i pravac na kom leže točke za koje trebamo dokazati da su kolinearne može biti neki specijalan pravac. U ovom zadatku nakon što tek nacrtamo skice točke $M,D,E$ izgledaju solidno nepovezano i nije baš jasno kako bismo pristupili dokazivanju kolinearnosti. Fokusirajmo se na to što možemo odgnonetnuti o točkama $D$ i $E$. Ove točke leže na kružnici nad promjerom $AH$. Na toj kružnici leže i točke $P,Q$, nožišta visina trokuta $ABC$ iz vrhova $B$ i $C$. \begin{center} \includegraphics{MDE.png}\end{center} Kao što smo već rekli šesterokut $AEQHDP$ je tetivni. Neka je $k$ njegova opisana kružnica. Obodni kutevi $\angle DAP$ i $\angle DAQ$ u kružnici $k$ nad tetivama $DP$ i $DQ$ su jednaki jer je $AD$ simetrala kuta, pa su i odgovarajuće tetive jednake, tj. $DP = DQ$. Slično, zbog $\angle EQP=180^{\circ}-\angle EAP= \angle EAQ=\angle EPQ$ vrijedi $EP = EQ$. Ovdje smo koristili da je zbroj suprotnih kuteva kod tetivnog četverokuta $AEQP$ jednak $180^{\circ}$ i da je $AE$ simetrala vanjskog kuta. Dakle pravac $DE$ zaista jest simetrala dužine $PQ$. Ostaje još dokazati da je $M$ na simetrali dužine $PQ$.\\ Točka $M$ je polovište hipotenuze $BC$ u pravokutnim trokutima $BCP$ i $BCQ$, pa je $M$ i središte kružnica opisanih oko tih trokutova, odakle je $MQ=MB=MC=MP$ dakle $M$ pripada simetrali dužine $PQ$ odakle slijedi da su $M,D,E$ kolinearne. \\ \\ Upišite $1$ za nastavak.