Vrijeme: 11:09

Nejednakosti - Primjer 4

Sada ćemo predstaviti neke jače nejednakosti koje možemo koristiti pri rješavanju zadataka. Sljedeći teorem poznat je kao nejednakosti među sredinama ili "power mean inequalities".

Teorem 1

Neka su a_1,\dots , a_n pozitivni realni brojevi. Vrijedi \sqrt{\dfrac{a_1^2+\dots +a_n^2}{n}}\geq \dfrac{a_1+\dots +a_n}{n} \geq (a_1\cdots a_n)^{\frac{1}{n}} \geq \dfrac{n}{\frac{1}{a_1}+\dots +\frac{1}{a_n}}, pri čemu jednakost vrijedi ako i samo ako je a_1=a_2=\dots =a_n.


Vrijednosti \sqrt{\dfrac{a_1^2+\dots +a_n^2}{n}}, \dfrac{a_1+\dots +a_n}{n}, (a_1\cdots a_n)^{\frac{1}{n}} i \dfrac{n}{\frac{1}{a_1}+\dots +\frac{1}{a_n}} nazivamo redom kvadratna, aritmetička, geometrijska i harmonijska sredina brojeva a_1,\dots, a_n. Ovaj teorem možete upamtiti ukratko kao "KAGH" nejednakost, a npr. nejednakost između aritmetičke i geometrijske sredine kao AG nejednakost.

Primjer 4

Neka su a,b,c > 0. Dokažite da je (a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2)\geq 9a^2b^2c^2.

Rješenje

Iz AG nejednakosti slijedi da je \dfrac{(a^2b+b^2c+c^2a)}{3}\geq (a^2b\cdot b^2c\cdot c^2a)^\frac{1}{3}=(a^3b^3c^3)^\frac{1}{3}=abc \,\,\,\text{ i} \dfrac{(ab^2+bc^2+ca^2)}{3}\geq (ab^2bc^2ca^2)^\frac{1}{3}=(a^3b^3c^3)^\frac{1}{3}=abc. Kada pomnožimo ove dvije nejednakosti dobivamo \dfrac{(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2)}{9} \geq a^2b^2c^2, pa množenjem s 9 slijedi tražena nejednakost.

Upišite 1. za nastavak.