MetaMath '24

\textbf{Teorem 2} \textit{(Cauchy-Schwarz)} Neka su $a_1,\dots , a_n$ i $b_1,\dots , b_n$ realni brojevi. Vrijedi da je \[(a_1^2+\dots +a_n^2)(b_1^2+\dots +b_n^2)\geq (a_1b_1+\dots a_nb_n)^2.\] \textit{Primjer 5} Dokažite tzv. Engel formu (poznatu i kao Titu lema/T2 lema) CS nejednakosti. Neka su $u_1,\dots , u_n$ realni i $v_1,\dots , v_n$ pozitivni realni brojevi. Vrijedi da je \[ \dfrac{u_1^2}{v_1}+\dots +\dfrac{u_n^2}{v_n}\geq \dfrac{(u_1+\dots + u_n)^2}{(v_1+\dots + v_n)}.\] \textit{Rješenje} Uzmimo u CS nejednakosti da je $a_i=\dfrac{u_i}{\sqrt{v_i}}$ i $b_i=\sqrt{v_i}$ za $i=1,\dots , n$. Dobivamo da je \[ \left(\dfrac{u_1^2}{v_1}+\dots +\dfrac{u_n^2}{v_n}\right)(v_1+\dots + v_n)\geq (u_1+\dots + u_n)^2.\] Dijeljenjem s $v_1+\dots + v_n$ (ovo je pozitivno jer su $v_i$ pozitivni) dobivamo traženu nejednakost. Za nastavak napišite 2.