MetaMath '24

Zadan je tupokutni trokut $ABC$ s tupim kutom u vrhu $B$. Simetrala vanjskog kuta pri vrhu $C$ siječe pravac $AB$ u točki $D$, a simetrala vanjskog kuta pri vrhu $A$ siječe pravac $BC$ u točki $E$. Odredi veličine kutova trokuta $ABC$ ako vrijedi da je $|AE|= |AC|= |CD|$. \\\\Rješenje:\\\\ Označimo $\alpha =\angle BAC, \beta=\angle ABC, \gamma=\angle BCA$. Iz uvjeta znamo da su $\triangle AEC, \triangle ACD$ jednakokračni, odnosno $\angle AEC=\angle ECA=\gamma, \angle ADC=\angle DAC=\alpha$. Iz tih trokuta dobivamo jednakosti: $2\gamma+90+\frac{\alpha}{2}=180$ i $2\alpha+90+\frac{\gamma}{2}=180$. Izjednačavanjem dobivamo $\alpha=\gamma$ i uvrštavanjem dobijemo $\alpha=\gamma=36 \longrightarrow \beta=108$. Slijedi da su kutovi u $\triangle ABC$ veličine $36, 36$ i $108.$ Za nastavak upišite 1.