MetaMath '24

Neka je $\overline{AB}$ promjer kružnice $k$ i neka su $P$, $Q$ na luku $AB$. Neka je $M$ presjek pravaca $AP$ i $BQ$, a $N$ presjek pravaca $AQ$ i $BP$. Dokažite da je $MN \perp AB$. \\\\ Dokaz: \\\\ Bez smanjenja općenitosti, pravci \(AQ\) i \(BP\) sijeku se unutar kružnice, a \(AP\) i \(BQ\) izvan. Po Talesovom poučku \(\angle APB = \angle AQB = 90^{\circ}\). Sada možemo primjetiti da su \(\overline{BP}\) i \(\overline{AQ}\) su visine $\triangle AMB$. Tada je N ortocentar (sjecište visina) u \(\triangle AMB\). Znamo da onda i visina iz vrha $M$ mora prolaziti kroz točku$N$ pa je ta visina upravo pravac $MN$ i zbog toga je okomit na $AP$. Za nastavak upišite 1.