MetaMath '24

Tako dolazimo do prvog zadatka gdje ćemo se upoznat s nekim od novih pojmova: \textit{Primjer. 1.} U skupu kompleksnih brojeva riješite jednadžbu $$z(4+i)+\overline{z}(2-3i)=1-i^{11}$$ \textit{Rješenje.} Dakle, počnimo s malim pojednostavljenjem, kao što smo vidjeli potencija broja $i$ se ponavljaju nakon svake 4 pa kako je $11=4\cdot2+3$ imamo $$i^{11}=i^{2\cdot4}\cdot i^3=(\underbrace{i^4}_{1})^2\cdot(\underbrace{i^2}_{-1}\cdot i)=-i$$ Jednadžba postaje $$z(4+i)+\overline{z}(2-3i)=1+i$$ Sada da smo nad realnim brojevima bi grupirali sve sa $z$ zajedno i podijelili, ali ovdje imamo $z$ i $\overline{z}$ pa ne možemo direktno dobiti $z=\text{broj}$, ali zato imamo jednu drugu metodu, možemo rastaviti $z$ na realni i imaginarni dio $z=a+bi$ te kada to uvrstimo dobijemo \begin{align*} (a+bi)(4+i)+(a-bi)(2-3i)&=1+i\\ 4a+ai+4bi+\underbrace{bi^2}_{-b}+2a-3ai-2bi+\underbrace{3bi^2}_{-3b}&=1+i\\ 6a-4b-2ai+2bi&=1+i\\ \end{align*} Sada dolazimo do onog lijepog dijela, možemo gledati realni i imaginarni dio zasebno, tj. mi u jednoj jednadžbi zapravo imamo sustav jednadžbi jer možemo zasebno promatrati jednakost brojeva bez $i$ i jednakost brojeva s $i$, stoga isčitavamo sustav (za jednakost imaginarnih dijelova možemo i maknuti $i$ jer bi ga svi elementi u jednadžbi imali) \begin{align*} 6a-4b&=1\\ -2a+2b&=1 \end{align*} možemo pomnožiti drugu jednadžbu s $2$ te zbrojiti (da nam se pokrate članovi s $b$) ih da bismo dobili $2a=3$, tj. $a=\frac{3}{2}$ te kada uvrstimo natrag u drugu jednadžbu $2b=1+2a$, tj. $b=2$. No, nismo gotovi još jer nas ne traži zapravo uređene parove $(a,b)$ nego je to samo oznaka koju smo si uveli. Zadatak nas traži kompleksne brojeve $z=a+bi$, što je u našem slučaju samo jedno rješenje $z=\frac{3}{2}+2i$. Kako biste dobili bod upišite 1 kao rješenje.