MetaMath '24 - Školjka

Vrijeme: 11:09

Kompleksni brojevi - Primjer 2

Primjer. 2. Odredite sve kompleksne brojeve $z$ takve da je $\text{Re}\frac{1}{1-z}=2\quad\text{i}\quad\text{Im}\frac{1}{1-z}=-1$

Rješenje. Za prvi način ćemo probat opet isto, neka nam je $z=a+bi$ i pokušajmo odrediti $a,b$ . No, u broju $\dfrac{1}{1-a-bi}$ ne možemo odmah isčitati koji je realni a koji je imaginarni dio i zbog ovoga ćemo se napatit ovim načinom. Problem nam stvara što je $i$ u nazivniku, ali ne pretjerani problem - može nam poslužiti jedna od tvrdnji iz uvoda. Želimo imati realan broj u nazivniku, a znamo da je $\lvert z\rvert$ uvijek realan, tako da broj $\frac{1}{z}$ možemo uvijek proširiti sa $\overline{z}$ kako bismo mogli isčitati realni i imaginarni dio, ovdje nam treba $\overline{1-a-bi}=1-a+bi$ $\frac{1}{1-z}=\frac{1}{1-a-bi}\cdot\frac{\overline{1-a-bi}}{\overline{1-a-bi}} \frac{1-a+bi}{\lvert1-a-bi\rvert^2}=\frac{1-a+bi}{(1-a)^2+b^2}$

Sada bi nam preostao sustav $\begin{align*} \frac{1-a}{(1-a)^2+b^2}=2,\quad\frac{b}{(1-a)^2+b^2}=-1 \end{align*}$ koji možete slobodno pokušati riješiti za vježbu. No, postoji bolji način za to riješiti.

$\dfrac{1}{1-z}$ je neki kompleksni broj $w$ , a svaki se može zapisati kao $w=\text{Re}(w)+\text{Im}(w)\cdot i$ , a mi znamo $\text{Re}(w),\text{Im}(w)$ te kada to uvrstimo imamo jednadžbu $\frac{1}{1-z}=2-i$ koju rješavamo slično kao da imamo $\frac{1}{x}=\text{broj}$ u realnima, tako da sve invertiramo, tj. zamjenimo svemu brojnik i nazivnik te dalje možemo direktno dobiti $z$ za razliku od prvog primjera. $\begin{align*} 1-z=\frac{1}{2-i}\cdot\frac{\overline{2-i}}{\overline{2-i}}&=\frac{2+i}{\lvert2+i\rvert}=\frac{2+i}{2^2+1^2}\\ 1-z&=\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i\\ -z&=-\frac{3}{5}+\frac{1}{5}i\\ z&=\frac{3}{5}-\frac{1}{5}i \end{align*}$

Kako biste dobili bod na ovom zadatku, upišite 2 kao rješenje.

Makar smo vidjeli da nam uvođenje $z=a+bi$ može pomoći, ponekad nam može i jako zakomplicirati život. Tako je općenito u matematici - metoda ili trik za riješiti jedan problem ne mora nužno pomoć na drugom, štoviše može i odmoć. \textit{Primjer. 2.} Odredite sve kompleksne brojeve $z$ takve da je $$\text{Re}\frac{1}{1-z}=2\quad\text{i}\quad\text{Im}\frac{1}{1-z}=-1$$ \textit{Rješenje.} Za prvi način ćemo probat opet isto, neka nam je $z=a+bi$ i pokušajmo odrediti $a,b$. No, u broju $\dfrac{1}{1-a-bi}$ ne možemo odmah isčitati koji je realni a koji je imaginarni dio i zbog ovoga ćemo se napatit ovim načinom. Problem nam stvara što je $i$ u nazivniku, ali ne pretjerani problem - može nam poslužiti jedna od tvrdnji iz uvoda. Želimo imati realan broj u nazivniku, a znamo da je $\lvert z\rvert$ uvijek realan, tako da broj $\frac{1}{z}$ možemo uvijek proširiti sa $\overline{z}$ kako bismo mogli isčitati realni i imaginarni dio, ovdje nam treba $\overline{1-a-bi}=1-a+bi$ $$\frac{1}{1-z}=\frac{1}{1-a-bi}\cdot\frac{\overline{1-a-bi}}{\overline{1-a-bi}} \frac{1-a+bi}{\lvert1-a-bi\rvert^2}=\frac{1-a+bi}{(1-a)^2+b^2}$$ Sada bi nam preostao sustav \begin{align*} \frac{1-a}{(1-a)^2+b^2}=2,\quad\frac{b}{(1-a)^2+b^2}=-1 \end{align*} koji možete slobodno pokušati riješiti za vježbu. No, postoji bolji način za to riješiti. $\dfrac{1}{1-z}$ je neki kompleksni broj $w$, a svaki se može zapisati kao $w=\text{Re}(w)+\text{Im}(w)\cdot i$, a mi znamo $\text{Re}(w),\text{Im}(w)$ te kada to uvrstimo imamo jednadžbu $$\frac{1}{1-z}=2-i$$ koju rješavamo slično kao da imamo $\frac{1}{x}=\text{broj}$ u realnima, tako da sve invertiramo, tj. zamjenimo svemu brojnik i nazivnik te dalje možemo direktno dobiti $z$ za razliku od prvog primjera. \begin{align*} 1-z=\frac{1}{2-i}\cdot\frac{\overline{2-i}}{\overline{2-i}}&=\frac{2+i}{\lvert2+i\rvert}=\frac{2+i}{2^2+1^2}\\ 1-z&=\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i\\ -z&=-\frac{3}{5}+\frac{1}{5}i\\ z&=\frac{3}{5}-\frac{1}{5}i \end{align*} Kako biste dobili bod na ovom zadatku, upišite 2 kao rješenje.