MetaMath '24

Šećer na kraju, jedan više teorijski zadatak. \textit{Primjer. 5.} Neka su $z_1,z_2$ međusobno različiti kompleksni brojevi modula $1$. Dokažite da je $$\frac{1-z_1z_2}{z_1-z_2}$$ realan broj. \textit{Rješenje.} Kao i inače, možemo na to lupit $z_1=a+bi,z_2=c+di$ te $a^2+b^2=c^2+d^2$, ali ne budemo uvijek takve sreće, a i meni se neda to rješenje pisat. Makar, bitno je naglasit, ako ne vidite bolji način vrijedi i to isprobat, i ako ne uspijete možda pokupite koje bodove. Dugo, naporno rješenje je i dalje rješenje, pogotovo ako nemate druge ideje. No, srećom, i za vas čitatelje, a i za mene, postoji elegantnije rješenje uz malo teorije i dosta manje algebre nego brute force način. Naime, negdje u uvodu sam spomenuo da je broj $z$ realan ako i samo ako je $z=\overline{z}$. Probat ćemo to iskoristiti. Odredimo što je $$\overline{\left(\frac{1-z_1z_2}{z_1-z_2}\right)}=\frac{\overline{1-z_1z_2}}{\overline{z_1-z_2}}=\frac{1-\overline{z_1z_2}}{\overline{z_1}-\overline{z_2}}=\frac{1-\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}}{\overline{z_1}-\overline{z_2}}$$ Sada još kako je $z\overline{z}=\lvert z\rvert^2$ dobijemo $$z_1\overline{z_1}=\lvert z_1\rvert^2=1\implies \overline{z_1}=\frac{1}{z_1}$$ te analogno za $z_2$. $$\overline{\left(\frac{1-z_1z_2}{z_1-z_2}\right)}=\frac{1-\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}}{\overline{z_1}-\overline{z_2}}=\frac{1-\frac{1}{z_1z_2}}{\frac{1}{z_1}-\frac{1}{z_2}}\cdot\frac{z_1z_2}{z_1z_2}=\frac{z_1z_2-1}{z_2-z_1}=\frac{1-z_1z_2}{z_1-z_2}$$ Stoga to zaista jest realan broj. Kako biste dobili bod na ovom zadatku kao rješenje upišite 5.