MetaMath '24 - Školjka

Vrijeme: 14:08

Karakteristične točke trokuta - središte opisane kružnice

Središte kružnice opisane trokutu

Za sljedeću karakterističnu točku trebat će nam simetrala dužine, pa istaknimo jednu bitnu činjenicu koju znamo o njoj.

Propozicija
Točka $C$ leži na simetrali dužine $\overline{AB}$ ako i samo ako je $|AC| = |BC|$ .

Primijetite da vrijede obje implikacije, odnosno možemo raditi zaključke u oba smjera. Ako imamo točku na simetrali dužine, ona je jednako udaljena od krajnjih točaka te dužine, ali i ako imamo točku koja je jednako udaljena od krajnjih točaka neke dužine ta točka mora ležati na simetrali te dužine.

Definicija
Središte kružnice opisane trokutu $ABC$ sjecište je simetrala stranica trokuta $ABC$ .

$Attachment opisana.png$

Ponovno ta naša karakteristična točka ne mora biti unutar trokuta.

$Attachment opisana_tup.png$

Središte opisane kružnice najčešće označavamo slovom $O$ .

Dokaz da se simetrale svih triju stranica trokuta sijeku u jednoj točki možete vidjeti ovdje.

Primijetite da ćemo ponovno imati neke tetivne četverokute. Pokušajte ih pronaći na prethodnim skicama.

Primjer
Dokažite da u šiljastokutnom trokutu $ABC$ s ortocentrom $H$ i središtem opisane kružnice $O$ vrijedi $\sphericalangle ACO = \sphericalangle BCH$ .

Rješenje:
Označimo s $D$ nožište visine iz vrha $C$ . Uočimo odmah da je kut $\sphericalangle DCO$ dio oba kuta kojima želimo dokazati jednakost $\begin{align*} \sphericalangle BCH &= \sphericalangle ACD + \sphericalangle DCO\\ \sphericalangle ACO &= \sphericalangle BCO + \sphericalangle DCO \end{align*}$ pa nam je dovoljno pokazati da vrijedi $\sphericalangle ACD = \sphericalangle BCO$ .

$Attachment opisana_pr.png$

Točka $O$ je središte kružnice opisane trokutu $ABC$ pa stoga mora biti jednako udaljena od sva tri vrha trokuta. Zato je trokut $BCO$ jednakokračan te vrijedi $|BO|=|CO|$ i $\sphericalangle BCO = \sphericalangle CBO$ . Također, znamo izračunati i kut $\sphericalangle BOC = 180^\circ - 2\cdot \sphericalangle BCO$ .

Sada ćemo ponovno iskoristiti činjenicu da je $O$ središte kružnice na kojoj leže sva tri vrha trokuta. Znamo da je svaki obodni kut upola manji od središnjeg kuta nad istom tetivom. Možemo uočiti da je $\sphericalangle BOC$ središnji kut obodnog kuta $\sphericalangle BAC$ pa zaključujemo da vrijedi $\sphericalangle BAC = \frac{1}{2} \sphericalangle BOC = \frac{1}{2} (180^\circ - 2\cdot \sphericalangle BCO) = 90^\circ - \sphericalangle BCO,$ odnosno $\sphericalangle BCO = 90^\circ - \sphericalangle BAC$ .

Konačno, iskoristit ćemo i pretpostavku da je $H$ ortocentar trokuta $ABC$ . Konkretno, $H$ leži na visini iz vrha $C$ i trokut $ADC$ je pravokutan pa vrijedi $\sphericalangle DAC + \sphericalangle ACD = 90^\circ$ . Dakle, $\sphericalangle ACD = 90^\circ - \sphericalangle DAC = 90^\circ - \sphericalangle BAC = \sphericalangle BCO,$ čime smo pokazali našu tvrdnju.

Za bod upišite odgovor na pitanje mora li središte trokutu opisane kružnice uvijek biti unutar trokuta (DA ili NE).

\textbf{Središte kružnice opisane trokutu} Za sljedeću karakterističnu točku trebat će nam simetrala dužine, pa istaknimo jednu bitnu činjenicu koju znamo o njoj. \textbf{Propozicija}\\ Točka $C$ leži na simetrali dužine $\overline{AB}$ ako i samo ako je $|AC| = |BC|$. Primijetite da vrijede obje implikacije, odnosno možemo raditi zaključke u oba smjera. Ako imamo točku na simetrali dužine, ona je jednako udaljena od krajnjih točaka te dužine, ali i ako imamo točku koja je jednako udaljena od krajnjih točaka neke dužine ta točka mora ležati na simetrali te dužine. \textbf{Definicija}\\ Središte kružnice opisane trokutu $ABC$ sjecište je simetrala stranica trokuta $ABC$. \begin{center} \includegraphics[scale=0.4]{opisana.png} \end{center} Ponovno ta naša karakteristična točka ne mora biti unutar trokuta. \begin{center} \includegraphics[scale=0.4]{opisana_tup.png} \end{center} Središte opisane kružnice najčešće označavamo slovom $O$. Dokaz da se simetrale svih triju stranica trokuta sijeku u jednoj točki možete vidjeti \href{https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Circumcenter}{ovdje}. Primijetite da ćemo ponovno imati neke tetivne četverokute. Pokušajte ih pronaći na prethodnim skicama. \textbf{Primjer}\\ Dokažite da u šiljastokutnom trokutu $ABC$ s ortocentrom $H$ i središtem opisane kružnice $O$ vrijedi $\sphericalangle ACO = \sphericalangle BCH$. \textit{Rješenje:}\\ Označimo s $D$ nožište visine iz vrha $C$. Uočimo odmah da je kut $\sphericalangle DCO$ dio oba kuta kojima želimo dokazati jednakost \begin{align*} \sphericalangle BCH &= \sphericalangle ACD + \sphericalangle DCO\\ \sphericalangle ACO &= \sphericalangle BCO + \sphericalangle DCO \end{align*} pa nam je dovoljno pokazati da vrijedi $\sphericalangle ACD = \sphericalangle BCO$. \begin{center} \includegraphics[scale=0.4]{opisana_pr.png} \end{center} Točka $O$ je središte kružnice opisane trokutu $ABC$ pa stoga mora biti jednako udaljena od sva tri vrha trokuta. Zato je trokut $BCO$ jednakokračan te vrijedi $|BO|=|CO|$ i $\sphericalangle BCO = \sphericalangle CBO$. Također, znamo izračunati i kut $\sphericalangle BOC = 180^\circ - 2\cdot \sphericalangle BCO$. Sada ćemo ponovno iskoristiti činjenicu da je $O$ središte kružnice na kojoj leže sva tri vrha trokuta. Znamo da je svaki obodni kut upola manji od središnjeg kuta nad istom tetivom. Možemo uočiti da je $\sphericalangle BOC$ središnji kut obodnog kuta $\sphericalangle BAC$ pa zaključujemo da vrijedi $$\sphericalangle BAC = \frac{1}{2} \sphericalangle BOC = \frac{1}{2} (180^\circ - 2\cdot \sphericalangle BCO) = 90^\circ - \sphericalangle BCO,$$ odnosno $\sphericalangle BCO = 90^\circ - \sphericalangle BAC$. Konačno, iskoristit ćemo i pretpostavku da je $H$ ortocentar trokuta $ABC$. Konkretno, $H$ leži na visini iz vrha $C$ i trokut $ADC$ je pravokutan pa vrijedi $\sphericalangle DAC + \sphericalangle ACD = 90^\circ$. Dakle, $$\sphericalangle ACD = 90^\circ - \sphericalangle DAC = 90^\circ - \sphericalangle BAC = \sphericalangle BCO,$$ čime smo pokazali našu tvrdnju. Za bod upišite odgovor na pitanje mora li središte trokutu opisane kružnice uvijek biti unutar trokuta (DA ili NE).