MetaMath '24 - Školjka

Vrijeme: 11:13

Karakteristične točke trokuta - središte upisane kružnice

Središte kružnice upisane trokutu

Za sljedeću karakterističnu točku trebat će nam simetrala kuta, pa istaknimo ponovno jednu bitnu činjenicu.

Propozicija
Točka leži na simetrali kuta ako i samo ako je jednako udaljena od njegovih krakova.

Primijetite da ponovno možemo zaključivati u oba smjera.

Definicija
Središte kružnice upisane trokutu $ABC$ sjecište je simetrala kuteva trokuta $ABC$ .

$Attachment upisana.png$

Ovaj puta naša karakteristična točka mora biti unutar trokuta neovisno o tome kakav trokut promatramo. Također, ponovno pronalazimo tetivne četverokute: polumjer i tangenta u točki iz koje promatramo polumjer moraju biti okomiti pa ponovno imamo puno pravih kuteva.

Uočimo i da imamo neke jednakosti duljina. Označimo redom s $D$ , $E$ , $F$ točke u kojima upisana kružnica dira stranice $\overline{AB}$ , $\overline{BC}$ i $\overline{CA}$ . Tada po poučku KSK možemo zaključiti da su čak tri para trokuta sukladni: $ADI\cong AFI$ , $BDI\cong BEI$ i $CFI\cong CEI$ , odakle zaključujemo i da vrijedi $|AD|=|AF|$ , $|BD|=|BE|$ i $|CF|=|CE|$ .

Središte upisane kružnice najčešće označavamo slovom $I$ , a dokaz da se simetrale svih triju stranica trokuta sijeku u jednoj točki možete vidjeti ovdje.

Primjer
Neka je $ABC$ trokut za koji vrijedi $|AB|+|BC|=2|AC|$ . Neka je $P$ sjecište simetrale kuta $\sphericalangle ABC$ sa stranicom $\overline{AC}$ , a $I$ središte trokutu $ABC$ upisane kružnice.
Odredite omjer $|IP| : |BP|$ .

Rješenje:
Označimo $|AP|=x$ i $CP=y$ , te označimo standardno stranice $|BC|=a$ , $|CA|=b$ i $|AB|=c$ . Uvjet zadatka sada možemo zapisati kao $a+c=2b$ , a znamo i da vrijedi $x+y=b$ .

$Attachment upisana_pr.png$

Prisjetimo se, simetrala unutarnjeg kuta trokuta dijeli tom kutu nasuprotnu stranicu u omjeru preostalih stranica. Za naš trokut to znači da vrijedi $x:y = c:a$ , odnosno $x=y\frac{c}{a}$ . Iz svega do sada možemo izračunati $x$ i $y$ u ovisnosti o $a$ , $b$ i $c$ .

$b=x+y \implies b=y\frac{c}{a} + y \implies y\left( \frac{c+a}{a} \right) = b \implies y=\frac{ab}{a+c} \implies x=\frac{bc}{a+c}$

Još moramo uzeti u obzir pretpostavku $a+c=2b$ da dobijemo $x=\frac c2$ , $y=\frac a2$ .

Budući da je $I$ središte kružnice upisane trokutu $ABC$ , pravac $AI$ je simetrala kuta $\sphericalangle BAC$ , što je unutarnji kut trokuta $ABC$ , ali i trokuta $ABP$ . Ponovno možemo iskoristiti trik s podjelom u omjeru stranica da dobijemo $|PI|:|IB| = x:c = \frac{c}{2} : c = 1:2.$ Budući da vrijedi $|BP|=|PI|+|IB|$ , slijedi da je $|IP| : |BP| = 1:3$ .

Za bod upišite odgovor na pitanje mora li središte trokutu upisane kružnice uvijek biti unutar trokuta (DA ili NE).

\textbf{Središte kružnice upisane trokutu} Za sljedeću karakterističnu točku trebat će nam simetrala kuta, pa istaknimo ponovno jednu bitnu činjenicu. \textbf{Propozicija}\\ Točka leži na simetrali kuta ako i samo ako je jednako udaljena od njegovih krakova. Primijetite da ponovno možemo zaključivati u oba smjera. \textbf{Definicija}\\ Središte kružnice upisane trokutu $ABC$ sjecište je simetrala kuteva trokuta $ABC$. \begin{center} \includegraphics[scale=0.5]{upisana.png} \end{center} Ovaj puta naša karakteristična točka mora biti unutar trokuta neovisno o tome kakav trokut promatramo. Također, ponovno pronalazimo tetivne četverokute: polumjer i tangenta u točki iz koje promatramo polumjer moraju biti okomiti pa ponovno imamo puno pravih kuteva. Uočimo i da imamo neke jednakosti duljina. Označimo redom s $D$, $E$, $F$ točke u kojima upisana kružnica dira stranice $\overline{AB}$, $\overline{BC}$ i $\overline{CA}$. Tada po poučku KSK možemo zaključiti da su čak tri para trokuta sukladni: $ADI\cong AFI$, $BDI\cong BEI$ i $CFI\cong CEI$, odakle zaključujemo i da vrijedi $|AD|=|AF|$, $|BD|=|BE|$ i $|CF|=|CE|$. Središte upisane kružnice najčešće označavamo slovom $I$, a dokaz da se simetrale svih triju stranica trokuta sijeku u jednoj točki možete vidjeti \href{https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Incenter}{ovdje}. \textbf{Primjer}\\ Neka je $ABC$ trokut za koji vrijedi $|AB|+|BC|=2|AC|$. Neka je $P$ sjecište simetrale kuta $\sphericalangle ABC$ sa stranicom $\overline{AC}$, a $I$ središte trokutu $ABC$ upisane kružnice.\\ Odredite omjer $|IP| : |BP|$. \textit{Rješenje:}\\ Označimo $|AP|=x$ i $CP=y$, te označimo standardno stranice $|BC|=a$, $|CA|=b$ i $|AB|=c$. Uvjet zadatka sada možemo zapisati kao $a+c=2b$, a znamo i da vrijedi $x+y=b$. \begin{center} \includegraphics[scale=0.5]{upisana_pr.png} \end{center} Prisjetimo se, simetrala unutarnjeg kuta trokuta dijeli tom kutu nasuprotnu stranicu u omjeru preostalih stranica. Za naš trokut to znači da vrijedi $x:y = c:a$, odnosno $x=y\frac{c}{a}$. Iz svega do sada možemo izračunati $x$ i $y$ u ovisnosti o $a$, $b$ i $c$. $$b=x+y \implies b=y\frac{c}{a} + y \implies y\left( \frac{c+a}{a} \right) = b \implies y=\frac{ab}{a+c} \implies x=\frac{bc}{a+c}$$ Još moramo uzeti u obzir pretpostavku $a+c=2b$ da dobijemo $x=\frac c2$, $y=\frac a2$. Budući da je $I$ središte kružnice upisane trokutu $ABC$, pravac $AI$ je simetrala kuta $\sphericalangle BAC$, što je unutarnji kut trokuta $ABC$, ali i trokuta $ABP$. Ponovno možemo iskoristiti trik s podjelom u omjeru stranica da dobijemo $$|PI|:|IB| = x:c = \frac{c}{2} : c = 1:2.$$ Budući da vrijedi $|BP|=|PI|+|IB|$, slijedi da je $|IP| : |BP| = 1:3$. Za bod upišite odgovor na pitanje mora li središte trokutu upisane kružnice uvijek biti unutar trokuta (DA ili NE).