MetaMath Junior '25

\textbf{a)} Odredi sve $n\in \mathbb{Z}$ tako da je razlomak $\dfrac{n-7}{n-2}$ cijeli broj. \\\\ \textbf{b)} Odredi sve $n\in \mathbb{Z}$ tako da je razlomak $\dfrac{2n-6}{n+3}$ prirodni broj. \\\\ \textit{Rješenje.} \textbf{a)} Kada bismo uspjeli transformirati ovaj razlomak u neki ljepši oblik, to bi nam puno pomoglo. Zapravo, kada bismo razdvojili ovaj razlomak u dva razlomka od kojih jedan možemo zapisati kao prirodan broj, to bi bilo sjajno. Stoga, zapišimo brojnik $n-7$ kao $n-2-5$ pa razdvojimo u dva razlomka: $$ \dfrac{n-7}{n-2}=\dfrac{n-2-5}{n-2}=\dfrac{n-2}{n-2}-\dfrac{5}{n-2}=1-\dfrac{5}{n-2}. $$ Ovo je puno bolje. Broj $1$ je sam po sebi cijeli broj, a cijeli izraz će biti jednak cijelom broju kada je $\dfrac{5}{n-2}$ cijeli broj. Kada će to biti slučaj? To će biti kada $n-2$ dijeli broj $5$. Cijeli djelitelji broja $5$ su $-5$, $-1$, $1$ i $5$ pa imamo: \\\\ $1^{\circ}$ $n-2=-5 \longrightarrow n=-3$. \\\\ $2^{\circ}$ $n-2=-1 \longrightarrow n=1$. \\\\ $3^{\circ}$ $n-2=1 \longrightarrow n=3$. \\\\ $4^{\circ}$ $n-2=5 \longrightarrow n=7$. \\\\ Konačno zapisujemo: $\boxed{n\in \{-3, 1, 3, 7\}}$. \\\\ \textbf{b)} Možemo li ovdje napraviti nešto slično kao i u \textbf{a)}? Kada bismo u brojniku imali $2(n+3)$, to bi bilo sjajno, no $2(n+3)=2n+6$, a mi imamo $2n-6$. Ipak, ako mi dodamo i oduzmemo $6$ u brojniku, imamo traženi oblik. Redom to izgleda ovako: $$ \dfrac{2n-6}{n+3}=\dfrac{2n+6-6-6}{n+3}=\dfrac{2(n+3)-12}{n+3}=\dfrac{2(n+3)}{n+3}-\dfrac{12}{n+3}=2-\dfrac{12}{n+3} $$ Uočimo kako konačni rezultat mora biti prirodni broj tako da razlomak $\dfrac{12}{n+3}$ može poprimiti vrijednosti $1$, $-1$, $-2$, $-3$, $-4$, $-6$ ili $-12$, a to je kad je $n+3\in\{-12, -6, -4, -3, -2, -1, 12\}$. Stoga je rješenje: $$ \boxed{n\in \{-15, -9, -7, -6, -5, -4, 9\}}. $$ Kao rješenje upišite "razlomak"