MetaMath Junior '25

Izračunaj: $$ \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\dots+\frac{1}{99\cdot 100}= $$ \textit{Rješenje.} Svođenje na zajednički nazivnik ovdje ne bi donijelo ništa dobroga. Stoga ove razlomke trebamo nekako zapisati drugačije. Ideja je da se takvi razlomci zapišu kao zbroj ili razlika razlomaka. Tako ovdje uočavamo sljedeće: $$\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{1\cdot 2}=1-\dfrac{1}{2}$$ $$\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{2\cdot 3}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}$$ $$\dfrac{1}{12}=\dfrac{1}{3\cdot 4}=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}\dots$$ Općenito, $$\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}.$$ Na ovoj razini će se slični razlomci prikazivati upravo kao razlika razlomaka (možda pomnoženih s nekim brojem). \\\\ Naš početni izraz sada postaje: $$ 1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dots+\dfrac{1}{98}-\dfrac{1}{99}+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}. $$ Možemo uočiti da se svi razlomci, osim prvog i zadnjeg pokrate pa je konačni rezultat: $$ 1-\dfrac{1}{100}=\boxed{\dfrac{99}{100}}. $$ Kao rješenje upišite zbroj brojnika i nazivnika rješenja.