Vrijeme: 04:46

Brojevi - primjer 5

Izračunaj: \sqrt{20+2\sqrt{19}}+\sqrt{20-2\sqrt{19}}. Rješenje. Evo i zadatka s korijenima. Za one koji se još nisu susretali s korijenima, iskažimo par važnih činjenica.

Drugi korijen iz nenegativnog broja a je nenegativni broj b za koji vrijedi da je b^2=a. Oznaka je \sqrt{a}=b. Npr. \sqrt{81}=9 jer je 9^2=81.

Vrijedi da je \sqrt{a}^2=a, ali \sqrt{a^2} nije nužno jednak a jer sada a ne mora biti nenegativan broj. Npr. \sqrt{(-5)^2}=5, a ne -5. Vrijedi: \sqrt{a^2}=|a|. Vratimo se sada zadatku. Ove izraze ispod korijena možemo pojednostaviti tako da ih zapišemo kao kvadrate nečega. No, nije baš skroz jasno kako to napraviti.

Ključ je u kvadratu zbroja i razlike. Vrijedi da je: (a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2. I sada, kada pogledamo ovaj 2\sqrt{19} ispod oba velika korijena, malo nas možda podsjeća na 2ab u gore navedenoj formuli. Čak bismo ga mogli i zapisati i kao 2\cdot \sqrt{19}\cdot 1, no tada bismo ispod korijena morali imati i \sqrt{19}^2 i 1^2 Međutim, mi to imamo! Vrijedi da je \sqrt{19}^2=19 i 1^2=1, a 19+1=20, upravo onaj broj koji je pod korijenom! Stoga, zapišimo sada 20 u "obrnutom smjeru" te izraze ispod korijena kao kvadrate zbroja/razlike (jednom rječju, binoma). \begin{align*} \sqrt{20+2\sqrt{19}}+\sqrt{20-2\sqrt{19}}&=\sqrt{19+2\sqrt{19}+1}+\sqrt{19-2\sqrt{19}+1} \\ &=\sqrt{\sqrt{19}^2+2\sqrt{19}+1^2}+\sqrt{\sqrt{19}^2-2\sqrt{19}+1^2} \\ &=\sqrt{(\sqrt{19}+1)^2}+\sqrt{(\sqrt{19}-1)^2} \\ &=\sqrt{19}+1+\sqrt{19}-1 \\ &=\boxed{2\sqrt{19}} \end{align*} Kao rješenje upiši kvadrat rješenja ovog zadatka.