Vrijeme: 04:46

Kružnice u ravnini - primjer 3

Sada kada smo upoznati s pojmovima vezanima uz položaj kružnica u ravnini, pogledajmo svojstva tangenti u slučaju dviju takvih kružnica na primjeru zadatka sa Školskog natjecanja za osme razrede iz 2019.
Zadatak:
Kružnice k_1 i k_2 se dodiruju izvana. Omjer njihovih polumjera je 2:1. Zajednička tangenta dira kružnicu k_1 u točki T, a kružnicu k_2 u točki R. Koliki je omjer duljine dužine \overline {TR} i polumjera veće kružnice?

Rješenje:

Attachment 2kruzniceitangenta.png

Označimo sa S_1 i S_2 središta kružnica k_1 i k_2 redom, kao i njihove polumjere r_1 i r_2. Neka je r_1 > r_2. Točkom S_2 nacrtamo paralelu x s \overline{TR}. Neka je P sjecište pravca x i polumjera kružnice k_1 iz S_1T. Tada je \Delta S_1 S_2 P pravokutan, četverokut S_2 P T R pravokutnik, pri čemu je \overline{S_2 P} = \overline{T R}.

Primjenom Pitagorinog poučka dobivamo:

|TR|^2 = |PS_2|^2=| S_1 S_2|^2 - |S_1P|^2 \tag{*}

Iskoristimo omjer 2:1 između polumjera kružnica k_1 i k_2, kao i pretpostavku da je r_1 > r_2. Postoji broj r tako da možemo pisati: r_1 = 2r, \quad r_2 = r

Tada je |S_1 S_2 |= 3r

Uvrštavanjem u (*) dobivamo: |TR|^2 = 9 r^2 - r^2 = 8 r^2 \implies |TR| = 2\sqrt2 \cdot r

Pa je traženi omjer: \frac{|TR|}{|S_1T|} = \frac{2\sqrt2 \cdot r}{2r} = \sqrt2

Ovdje smo ponovno koristili ključno svojstvo tangencijalnosti - radijus s tangentom u točki dirališta zatvara pravi kut i to vrijedi u svakoj kružnici za koju je dani pravac tangenta - u ovom slučaju, stoga, za obje.

Kao rješenje ovog zadatka upišite koliki je zbroj preostala dva kuta trokuta \Delta S_1PS_2