Vrijeme: 12:40

Lanci i strelice #3

Uvedimo sada nove objekte koje ćemo zvati lanci. Svaki prirodan broj je lanac duljine 1 te svaki lanac duljine n \in \mathbb{N} nakon kojeg slijedi strelica \to i prirodan broj, skupa formiraju lanac duljine n+1 (primjerice 12 \to 3 \to 4 \to 3 \to 6 je lanac duljine 5). Svaki lanac reprezentira neki prirodan broj te kažemo da su dva lanca ekvivalentna ako reprezentiraju isti broj. Vrijede sljedeća pravila:

Neka su p,q,r prirodni brojevi i neka je X podlanac. Tada imamo: \begin{enumerate} \item Prazan lanac (ili lanac duljine \(0\)) reprezentira broj \(1\), a lanac \(p\) reprezentira broj \(p\). \item \(X \to 1\) je ekvivalentno s \(X\). \item \(p \to q \to r\) je ekvivalentno s \(p \uparrow ^r q\). \item \(X \to 1 \to p\) je ekvivalentno s \(X\). \item \(X \to (p+1) \to (q+1)\) je ekvivalentno s \(X \to (X \to p \to (q+1)) \to q\). \end{enumerate} Primijetimo da zbog p \to q \overset{(2)}{=} p \to q \to 1 \overset{(3)}{=} p \uparrow q = p^q možemo definirati p \to q = p^q.

Odredi prirodan broj n u jednadžbi 4 \to 3 \to 2 \to 2 = 4 \uparrow ^n 3.