MetaMath '22 - Školjka

Vrijeme: 11:11

Hipotenuza 2006

(Općinsko natjecanje 2007., 1. razred) Postoji li pravokutan trokut kojemu su duljine kateta cijeli brojevi, a duljina hipotenuze $\sqrt{2006}$ ?

Rješenje.

1. Razumijevanje problema.

,,Što je nepoznato?'' Postojanje pravokutnog trokuta.

,,Što su poznati podatci?'' Duljine kateta su cijeli brojevi, a hipotenuza je duljine $\sqrt{2006}$ .

,,Prikladno označimo veličine.'' Ako taj trokut postoji, označimo mu duljine kateta sa $a$ i $b$ .

,,Što povezuje ove veličine?'' Kada bi taj pravokutan trokut postojao, na njega bi se mogao primijeniti Pitagorin poučak.

2. Smišljanje plana.

Kada treba odrediti postoji li nešto, važno je odabrati hoćemo li krenuti od pretpostavke da tražena stvar postoji ili ne. U ovom slučaju, ako bismo pretpostavili da trokut ne postoji, nemamo od čega krenuti, stoga pretostavimo da trokut postoji.

Sada možemo primijeniti Pitagorin poučak pa imamo $a^2+b^2=2006.$ Ovo je jedna jednadžba, ali imamo dvije nepoznanice. Uvjet zadatka je da su $a$ i $b$ cijeli brojevi, stoga je ovdje riječ o $\textbf{diofantskoj jednadžbi}$ .

Naš početni problem može se preformulirati na sljedeći način: ,, $\textit{Koliko rješenja ima jednadžba}$ $a^2+b^2=2006$ ?''

Jesmo li iskoristili sve uvjete u zadatku? Još nismo koristili uvjet da su $a$ i $b$ cijeli brojevi. Kakvi mogu biti cijeli brojevi? Pozitivni i negativni (i nula), ali negativni brojevi (i nula) u ovom kontekstu nemaju ni smisla jer $a$ i $b$ predstavljaju duljine kateta.

Koje svojstvo imaju cijeli brojevi, a racionalni i realni brojevi nemaju? Parnost i neparnost, pa pogledajmo možemo li to nekako iskoristiti. Najprije uočimo kako je broj $2006$ paran pa zbroj $a^2+b^2$ mora biti paran. Kada je zbroj paran? Kada su pribrojnici iste parnosti pa ćemo imati dva slučaja.

Brojevi $a^2$ i $b^2$ su kvadrati. Kada su kvadrati parni ili neparni? Ako nismo otprije upoznati s tim rezultatom, to također treba istražiti. Ispitujući na par primjera, možemo naslutiti da su kvadrati parnih brojeva parni, a kvadrati neparnih brojeva neparni. Vrijedi li i nešto više?

Kvadrat parnog broja je djeljiv s $4$ , a kvadrat neparnog broja pri dijeljenju s $4$ daje ostatak $1$ (Možete li to dokazati?). Promislimo: ako su oba pribrojnika djeljiva s $4$ , mora li zbroj biti djeljiv s $4$ ? Koliki je zbroj?

Dakle, rješenje zadatka ovisi o pitanju može li zbroj dva neparna kvadrata biti $2006$ , a to možemo algebarski ispitati.

Imamo plan!

3. Provođenje plana.

Pretpostavimo da takav pravokutan trokut postoji, stoga vrijedi $a^2+b^2=2006.$ Budući da je $2006$ paran broj, to također mora biti zbroj na lijevoj strani jednadžbe pa su $a^2$ i $b^2$ ili oba parna ili oba neparna. Slučaj kada su oba ta pribrojnika parna otpada jer su tada djeljivi s $4$ pa i njihov zbroj mora biti djeljiv s $4$ , a $2006$ nije djeljiv s $4$ pa taj slučaj otpada.

Dakle, $a^2$ i $b^2$ su neparni brojevi, što znači da su $a$ i $b$ neparni. Tada možemo zapisati $a=2k+1$ , $b=2l+1$ , gdje su $k$ i $l$ cijeli brojevi.

Slijedi: $\begin{align*} a^2+b^2&=2006 \\ (2k+1)^2+(2l+1)^2&=2006 \\ 4k^2+4k+1+4l^2+4l+1&=2006 \\ 4k^2+4k+4l^2+4l&=2004 \hspace{0.2cm}/ : 4 \\ k^2+k+l^2+l&=501 \\ k(k+1)+l(l+1)&=501 \end{align*}$ Brojevi $k$ i $k+1$ su različitih parnosti pa je njihov umnožak paran broj, stoga je zbroj na lijevoj strani paran, a broj $501$ neparan. Krenuli smo od pretpostavke da pravokutan trokut sa zadanim uvjetom postoji i došli smo do nečeg nemogućeg pa je zaključak da je početna pretpostavka bila netočna, odnosno traženi trokut ne postoji.

4. Osvrt Kada radimo osvrt na ovakav zadatak, dobro se uvjeriti da je svaki korak u rješavanju valjan. Primjerice, je li svaki kvadrat parnog broja djeljv s $4$ ? Provjerimo: $(2k)^2=4k^2,$ čime je tvrdnja vrlo lako dokazana.

Također, svaki kvadrat neparnog brojeva pri djeljenju s 4 daje ostatak $1$ zato što: $(2k+1)^2=4k^2+4k+1=4(\underbrace{k^2+k}_{\in \mathbb{Z}})+1.$ U zadnjem koraku smo koristili činjenicu da je umnožak parnog i neparnog broja paran. Pokušajte to dokazati sami.

Kao rješenje upišite 0.

\textit{(Općinsko natjecanje 2007., 1. razred)} Postoji li pravokutan trokut kojemu su duljine kateta cijeli brojevi, a duljina hipotenuze $\sqrt{2006}$? \\\\ \emph{Rješenje.} \\\\ \textbf{1. Razumijevanje problema.} \\\\ ,,\textit{Što je nepoznato?}'' Postojanje pravokutnog trokuta. \\\\ ,,\textit{Što su poznati podatci?}'' Duljine kateta su cijeli brojevi, a hipotenuza je duljine $\sqrt{2006}$. \\\\ ,,\textit{Prikladno označimo veličine.}'' Ako taj trokut postoji, označimo mu duljine kateta sa $a$ i $b$. \\\\ ,,\textit{Što povezuje ove veličine?}'' Kada bi taj pravokutan trokut postojao, na njega bi se mogao primijeniti Pitagorin poučak. \\\\ \textbf{2. Smišljanje plana.} \\\\ Kada treba odrediti postoji li nešto, važno je odabrati hoćemo li krenuti od pretpostavke da tražena stvar postoji ili ne. U ovom slučaju, ako bismo pretpostavili da trokut ne postoji, nemamo od čega krenuti, stoga pretostavimo da trokut postoji. \\\\ Sada možemo primijeniti Pitagorin poučak pa imamo $$ a^2+b^2=2006. $$ Ovo je jedna jednadžba, ali imamo dvije nepoznanice. Uvjet zadatka je da su $a$ i $b$ cijeli brojevi, stoga je ovdje riječ o $\textbf{diofantskoj jednadžbi}$. \\\\ Naš početni problem može se preformulirati na sljedeći način: ,,$\textit{Koliko rješenja ima jednadžba}$ $a^2+b^2=2006$?'' \\\\ Jesmo li iskoristili sve uvjete u zadatku? Još nismo koristili uvjet da su $a$ i $b$ cijeli brojevi. Kakvi mogu biti cijeli brojevi? Pozitivni i negativni (i nula), ali negativni brojevi (i nula) u ovom kontekstu nemaju ni smisla jer $a$ i $b$ predstavljaju duljine kateta. \\\\ Koje svojstvo imaju cijeli brojevi, a racionalni i realni brojevi nemaju? Parnost i neparnost, pa pogledajmo možemo li to nekako iskoristiti. Najprije uočimo kako je broj $2006$ paran pa zbroj $a^2+b^2$ mora biti paran. Kada je zbroj paran? Kada su pribrojnici iste parnosti pa ćemo imati dva slučaja. \\\\ Brojevi $a^2$ i $b^2$ su kvadrati. Kada su kvadrati parni ili neparni? Ako nismo otprije upoznati s tim rezultatom, to također treba istražiti. Ispitujući na par primjera, možemo naslutiti da su kvadrati parnih brojeva parni, a kvadrati neparnih brojeva neparni. Vrijedi li i nešto više? \\\\ Kvadrat parnog broja je djeljiv s $4$, a kvadrat neparnog broja pri dijeljenju s $4$ daje ostatak $1$ (\textit{Možete li to dokazati?}). Promislimo: ako su oba pribrojnika djeljiva s $4$, mora li zbroj biti djeljiv s $4$? Koliki je zbroj? \\\\ Dakle, rješenje zadatka ovisi o pitanju može li zbroj dva neparna kvadrata biti $2006$, a to možemo algebarski ispitati. \\\\ Imamo plan! \\\\ \textbf{3. Provođenje plana.} \\\\ Pretpostavimo da takav pravokutan trokut postoji, stoga vrijedi $$ a^2+b^2=2006. $$ Budući da je $2006$ paran broj, to također mora biti zbroj na lijevoj strani jednadžbe pa su $a^2$ i $b^2$ ili oba parna ili oba neparna. Slučaj kada su oba ta pribrojnika parna otpada jer su tada djeljivi s $4$ pa i njihov zbroj mora biti djeljiv s $4$, a $2006$ nije djeljiv s $4$ pa taj slučaj otpada. \\\\ Dakle, $a^2$ i $b^2$ su neparni brojevi, što znači da su $a$ i $b$ neparni. Tada možemo zapisati $a=2k+1$, $b=2l+1$, gdje su $k$ i $l$ cijeli brojevi. \\\\ Slijedi: \begin{align*} a^2+b^2&=2006 \\ (2k+1)^2+(2l+1)^2&=2006 \\ 4k^2+4k+1+4l^2+4l+1&=2006 \\ 4k^2+4k+4l^2+4l&=2004 \hspace{0.2cm}/ : 4 \\ k^2+k+l^2+l&=501 \\ k(k+1)+l(l+1)&=501 \end{align*} Brojevi $k$ i $k+1$ su različitih parnosti pa je njihov umnožak paran broj, stoga je zbroj na lijevoj strani paran, a broj $501$ neparan. Krenuli smo od pretpostavke da pravokutan trokut sa zadanim uvjetom postoji i došli smo do nečeg nemogućeg pa je zaključak da je početna pretpostavka bila netočna, odnosno traženi trokut ne postoji. \\\\ \textbf{4. Osvrt} Kada radimo osvrt na ovakav zadatak, dobro se uvjeriti da je svaki korak u rješavanju valjan. Primjerice, je li svaki kvadrat parnog broja djeljv s $4$? Provjerimo: $$ (2k)^2=4k^2, $$ čime je tvrdnja vrlo lako dokazana. \\\\ Također, svaki kvadrat neparnog brojeva pri djeljenju s 4 daje ostatak $1$ zato što: $$ (2k+1)^2=4k^2+4k+1=4(\underbrace{k^2+k}_{\in \mathbb{Z}})+1. $$ U zadnjem koraku smo koristili činjenicu da je umnožak parnog i neparnog broja paran. Pokušajte to dokazati sami. Kao rješenje upišite 0.