MetaMath '22

U knjizi \textit{How to solve it} (1957.) Georgea Polye (\url{https://en.wikipedia.org/wiki/George_P%C3%B3lya}) kao glavne četiri faze rješavanja matematičkog problema navode se sljedeće: \\\\ \textbf{1. Razumijevanje problema.} Da bi se neki problem riješio prvo treba taj problem razumjeti. Karakteristična pitanja koja pomažu razumijevanju su: ,,\textit{Što je nepoznato? Što su poznati podatci? Koji su zadani uvjeti?}'' \\\\ Potrebno je razmotriti je li moguće zadovoljiti uvjete? Je li uvjet dovoljan da se odredi rješenje? Je li možda nedovoljan ili suvišan? Možda čak i kontradiktoran? \\\\ Ako je riječ o geometrijskom zadatku, dobro je nacrtati crtež. Svakako je korisno prikladno označiti sve potrebne elemente. Možda pomogne razdvajanje dijelova uvjeta. \\\\ \textbf{2. Smišljanje plana.} U ovoj fazi je potrebno naći vezu između nepoznatog i poznatog. Ako ne postoji izravna veza, potrebno je smisliti pomoćni problem kojim će se ta veza uspostaviti. \\\\ Smišljanje plana možda neće biti teško ako je zadani problem već bio viđen (i riješen). Ako znamo riješiti srodan problem, možda se može iskoristiti rezultat ili metoda rješavanja tog problema. Možda treba uvesti pomoćni element pomoću kojeg će se uspostaviti veza između poznatog srodnog problema i nepoznatog. \\\\ Ako pogledamo što je nepoznato u zadatku, korisno je zapitati se znamo li poznati problem sa sličnom nepoznanicom. Ako je problem i dalje pretežak, dobro je smisliti lakši srodni problem koji znamo riješiti. Znamo li neki općenitiji, specijalni ili analogni problem? Što će se dogoditi ako se neki od zadanih podataka promijeni ili makne? Jesmo li iskoristili sve uvjete? \\\\ Ovo su samo neka od razmatranja i pitanja koja pomažu smišljanju plana. U konačnici, ovaj dio dosta ovisi o prethodnom iskustvu i razvijenoj sposobnosti prepoznavanja i korištenja različitih metoda rješavanja. \\\\ Ako se rješavač nikad nije susreo ni sa srodnim problemom, svakako nije loša ideja vratiti se definiciji pojmova spomenutih u problemu i pokušati postupno rješavanjem lakših, srodnih problema doći do rješenja traženog problema. \\\\ \textbf{3. Provođenje plana.} Nakon što je smišljen plan, provodimo ga provjeravajući svaki korak u rješenju. Jesmo li sigurni da je svaki korak valjan? Može li se to dokazati? Za svaki korak je dobro napraviti provjeru barem na intuitivnoj razini. \\\\ \textbf{4. Osvrt.} Nakon što je rješenje dobiveno, dobro je napraviti osvrt. Naime, ovaj korak se često preskače što ponekad dovodi do, u najbanalnijem slučaju, pogrešnog rješenja. Osvrtom na rješenje i put do rješenja se sistematizira stečeno znanje i razvija sposobnost rješavanja problema. Za neke probleme se dobro zapitati je li se moglo na drugi način doći do rješenja. \\\\ \textbf{Polyin primjer:} Nađite duljinu prostorne dijagonale kvadra sa poznatim duljinama bridova. \\\\ \textit{Rješenje.} \textbf{1. Razumijevanje problema.} \\\\ ,,\textit{Što je nepoznato?}'' Duljina prostorne dijagonale kvadra. \\\\ ,,\textit{Što su poznati podatci?}'' Duljine bridova kvadra. \\\\ ,,\textit{Prikladno označimo veličine.}'' Neka je $D$ duljina prostorne dijagonale kvadra, a $a$, $b$ i $c$ duljine bridova. \\\\ ,,\textit{Što povezuje $a$, $b$, $c$ i $D$?}'' Sve su duljine dijelova kvadra - $a$, $b$ i $c$ su duljine bridova, a $D$ duljina prostorne dijagonale. \\\\ ,,\textit{Jesu li zadani uvjeti dovoljni da se odredi nepoznato?}'' Da. Budući da je kvadar određen bridovima duljina $a$, $b$ i $c$, prostorna dijagonala duljine $D$ je također određena. \\\\ \textbf{2. Smišljanje plana.} \\\\ Ako se do sada rješavač nikad nije susreo sa zadatkom koji kao nepoznanicu ima prostornu dijagonalu kvadra, potrebno je razmisliti zna li se riješiti srodan, lakši zadatak. Kada su već u pitanju dijagonale, znamo li odrediti duljinu dijagonale pravokutnika ako su zadane duljine stranica? Da, koristeći Pitagorin poučak! \\\\ Budući da se koristio Pitagorin poučak, promatrali smo pravokutni trokut. Imamo li kakav pravokutni trokut negdje u našem zadatku? \\\\ Sada ne bi bilo loše nacrtati sliku. \\ \begin{center} \includegraphics{kvadar.PNG} \end{center} \\ Uz uvođenje pomoćnog elementa, plošne dijagonale duljine $d$, uočavamo pravokutni trokut s katetama duljina $c$ i $d$ te duljine hipotenuze $D$. Kada bismo znali odrediti $d$, tada bismo znali odrediti i $D$. No, $d$ je duljina hipotenuze jednog drugog pravokutnog trokuta sa duljinama kateta $a$ i $b$. \\\\ Imamo plan! \\\\ \textbf{3. Provođenje plana.} \\\\ Iz prvootkrivenog pravokutnog trokuta dobivamo: $$ D^2=d^2+c^2. $$ Iz drugog pravokutnog trokuta imamo: $$ d^2=a^2+b^2. $$ Uvrštavanjem umjesto $d^2$ u prvu jednadžbu dobivamo $$ D^2=a^2+b^2+c^2, $$ odnosno $$ D=\sqrt{a^2+b^2+c^2}. $$ Svaki od koraka je jasan i ispravan. \\\\ \textbf{4. Osvrt.} ,,\textit{Možemo li provjeriti rezultat?}'' je u ovom slučaju pitanje na koje će neiskusnim rješavačima biti teško odgovoriti budući da je rješenje algebarske naravi, tj. ,,sa slovima.'' Jedna stvar koja je svakako istinita je da izraz za $D$ sadrži poznate veličine $a$, $b$ i $c$, dakle, iskoristili smo sve uvjete. \\\\ Ako bi smanjivanjem veličine $c$ smanjivali visinu kvadra, u konačnici bi za $c=0$ dobili pravokutnik sa stranicama duljina $a$ i $b$, a prostorna i plošna dijagonala bi se podudarale. Uvrštavanjem $c=0$ dobili bismo $d^2=a^2+b^2$ što je istinita tvrdnja za taj pravokutnik. \\\\ Istraživanjima (možda koristeći programe dinamičke geometrije) bismo mogli primijetiti da ako se $a$, $b$ i $c$ produlje u istom omjeru, tada će se i prostorna dijagonala kvadra, nazovimo je $D_1$ produljiti u tom omjeru. Npr. ako produljimo $a$, $b$ i $c$ 2 puta, uvrštavanjem u formulu dobivamo: \begin{align*} D_1&=\sqrt{(2a)^2+(2b)^2+(2c)^2} \\ D_1&=\sqrt{4a^2+4b^2+4c^2} \\ D_1&=\sqrt{4(a^2+b^2+c^2)} \\ D_1&=2\sqrt{a^2+b^2+c^2} \\ D_1&=2D \end{align*} Time smo se uvjerili u tu tvrdnju. \\\\ Nekim drugim uvrštavanjima bismo također mogli provjeriti valjanost formule. \textit{Kao rješenje pošaljite ,,Polya''.}