MetaMath '22

Primjer 2. Neka su $x$ i $y$ realni brojevi takvi da vrijedi $x + y = 1$ i $x^3 + y^3 = 13$. Koliko je $x^2 + y^2$?\\ RJEŠENJE.\\ Kako u zadatku imamo zadan zbroj kubova raspisati ćemo formulu za kub binoma zbroja kako bismo kasnije zadane jednakosti mogli uvrstiti u nju.\\ $$(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 = x^3 + y^3 + 3xy(x + y)$$ $$(x + y)^3 - (x^3 + y^3) = 3xy(x + y)$$ Sada možemo uvrstiti dane jednakosti iz zadatka. \begin{align*} 1^3 - 13 &= 3xy \cdot 1\\ 3xy &= - 12 /:3\\ xy &= - 4 \\ \end{align*} Sada zamijetimo kako nam se $x^2 + y^2$ nalazi u formuli za kvadrat zbroja te imamo $$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$$ Uvrsimo ono što znamo i imamo; $$1^2 = x^2 + y^2 + 2 \cdot (-4) \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 + 8 = 9$$ \\ *Kako biste dobili 1 bod unesite 5 kao rješenje.