MetaMath '22

U kontekstu pozicije kazaljke na satu, $1$ sat je isto što i $13$ sati ili $25$ sati, ili čak $-11$ sati. Modularna aritmetika je računanje u kojem vrijede pravila poput onih za računanje pozicije kazaljke na satu. Npr. $5+7$ sati je $14$ sati što je isto što i $2$ sata. $5-7$ sati je $-2$ sata, što je isto što i $10$ sati. Također, zašto gledati sat s $12$ sati? Na satu od $10$ sati, nakon $7+8$ sati kazaljka je na $5$ sati. \begin{center} \includegraphics{clock10.png} \end{center} Primijetimo i da su na satu $2$ sata isto što i $14$ sati ili $26$ sati zato što $2$, $14$ ili $26$ daju isti ostatak pri dijeljenju s $12$. "$14$ daje ostatak $2$ pri dijeljenju s $12$" zapisujemo na sljedeći način: \[ 14\equiv 2 \mod{12} \] Pronađite $x\in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ takav da \[ 11111111111 \equiv x \mod{11}. \]