MetaMath '22 - Školjka

Vrijeme: 11:45

Skupovi - uvod

Skup se može shvatiti kao bilo koja kolekcija različitih apstraktnih objekata smatranim cjelinom, a objekte koji čine skup nazivamo njegovim elementima. Dva primjera skupa su $A = \{ \text{pas, mačka, auto} \}, \quad B = \{ 2, 3, 4.14 \}.$

Neka su $A$ i $B$ skupovi. Za element $a$ iz skupa $A$ pišemo $a \in A$ . Ako $a$ nije u skupu $B$ , pišemo $a \notin B$ . Kažemo da je $A$ podskup od $B$ i pišemo $A \subseteq B$ ako je svaki element skupa $A$ ujedno i element skupa $B$ . Kažemo da su skupovi $A$ i $B$ jednaki i pišemo $A=B$ ako vrijedi $A \subseteq B$ i $B \subseteq A$ . Univerzalan skup je skup koji sadrži sve promatrane skupove.

Sa skupovima možemo raditi sljedeće operacije: $\begin{itemize} \item unija skupova, $A \cup B:=\{x : x \in A \text{ ili } x \in B\}$ \item presjek skupova, $A \cap B:=\{x : x \in A \text{ i } x \in B\}$ \item skupovna razlika, $A \backslash B:=\{x : x \in A \text{ i } x \notin B\}$ \item komplement skupa u univerzalnom skupu $U, \ A^c:=\{x \in U : x \notin A\}$. \end{itemize}$

Kako bismo saznali odnos između dvaju ili više skupova, vrlo često ih grafički prikazujemo pomoću Vennovih dijagrama. Dolje je primjerice prikazan Vennov dijagram za presjek.

$Attachment Slikazaslona2022-09-30u092049.png$

Na koncu, ipak treba izraziti jedan vrlo važan oprez. Naime, Vennovi dijagrami služe kao pomagalo za određivanje odnosa među skupovima, ali oni nisu formalni matematički dokaz uočenog odnosa. Pokažimo kako to radimo na primjeru. Neka je $S$ univerzalan skup. Dokažimo da vrijedi $A \setminus B = A \cap B^c$ .

Uzmimo proizvoljan element $x \in A \setminus B$ . To znači da je $x \in S$ takav da $x \in A$ , ali $x \notin B$ . Prema definiciji komplementa, imamo da je $x \in A$ i $x \in B^c$ . Prema definiciji presjeka, dobivamo da je $x \in A \cap B^c$ . Dakle, za prizvoljan $x \in A \setminus B$ pokazali smo da se nalazi i u $A \cap B^c$ , stoga smo pokazali prema definiciji podskupa da vrijedi $A \setminus B \subseteq A \cap B^c$ .

Obratno, uzmimo $x \in A \cap B^c$ . Prema definiciji presjeka, imamo da je $x \in A$ i $x \in B^c$ . Prema definiciji komplementa, vrijedi da je $x \in S$ takav da $x \in A$ , ali $x \notin B$ . Dakle, prema definiciji skupovne razlike, vrijedi $x \in A \setminus B$ , stoga imamo $A \cap B^c \subseteq A \setminus B$ .

U konačnici, prema definiciji skupovne jednakosti dobivamo $A \setminus B = A \cap B^c$ .

Unesite u prozor za rješenje $1$ kako biste dobili $1$ bod.

\textbf{Skup} se može shvatiti kao bilo koja kolekcija različitih apstraktnih objekata smatranim cjelinom, a objekte koji čine skup nazivamo njegovim \textbf{elementima}. Dva primjera skupa su $$ A = \{ \text{pas, mačka, auto} \}, \quad B = \{ 2, 3, 4.14 \}. $$ Neka su $A$ i $B$ skupovi. Za element $a$ iz skupa $A$ pišemo $a \in A$. Ako $a$ nije u skupu $B$, pišemo $a \notin B$. Kažemo da je $A$ \textbf{podskup} od $B$ i pišemo $A \subseteq B$ ako je svaki element skupa $A$ ujedno i element skupa $B$. Kažemo da su skupovi $A$ i $B$ \textbf{jednaki} i pišemo $A=B$ ako vrijedi $A \subseteq B$ i $B \subseteq A$. \textbf{Univerzalan skup} je skup koji sadrži sve promatrane skupove. Sa skupovima možemo raditi sljedeće operacije: \begin{itemize} \item unija skupova, $A \cup B:=\{x : x \in A \text{ ili } x \in B\}$ \item presjek skupova, $A \cap B:=\{x : x \in A \text{ i } x \in B\}$ \item skupovna razlika, $A \backslash B:=\{x : x \in A \text{ i } x \notin B\}$ \item komplement skupa u univerzalnom skupu $U, \ A^c:=\{x \in U : x \notin A\}$. \end{itemize} Kako bismo saznali odnos između dvaju ili više skupova, vrlo često ih grafički prikazujemo pomoću \textbf{Vennovih dijagrama}. Dolje je primjerice prikazan Vennov dijagram za presjek. \includegraphics{Slikazaslona2022-09-30u092049.png} Na koncu, ipak treba izraziti jedan vrlo važan oprez. Naime, Vennovi dijagrami služe kao pomagalo za određivanje odnosa među skupovima, ali oni nisu formalni matematički dokaz uočenog odnosa. Pokažimo kako to radimo na primjeru. Neka je $S$ univerzalan skup. Dokažimo da vrijedi $A \setminus B = A \cap B^c$. Uzmimo proizvoljan element $x \in A \setminus B$. To znači da je $x \in S$ takav da $x \in A$, ali $x \notin B$. Prema definiciji komplementa, imamo da je $x \in A$ i $x \in B^c$. Prema definiciji presjeka, dobivamo da je $x \in A \cap B^c$. Dakle, za prizvoljan $x \in A \setminus B$ pokazali smo da se nalazi i u $A \cap B^c$, stoga smo pokazali prema definiciji podskupa da vrijedi $A \setminus B \subseteq A \cap B^c$. Obratno, uzmimo $x \in A \cap B^c$. Prema definiciji presjeka, imamo da je $x \in A$ i $x \in B^c$. Prema definiciji komplementa, vrijedi da je $x \in S$ takav da $x \in A$, ali $x \notin B$. Dakle, prema definiciji skupovne razlike, vrijedi $x \in A \setminus B$, stoga imamo $A \cap B^c \subseteq A \setminus B$. U konačnici, prema definiciji skupovne jednakosti dobivamo $A \setminus B = A \cap B^c$. Unesite u prozor za rješenje $1$ kako biste dobili $1$ bod.