MetaMath '22

\textbf{Primjer 2} (\textit{MNM Predavanje, zadatak 8.}) Nađite sve cijele brojeve $x$ i $y$ koji zadovoljavaju jednadžbu: \[ 3x+4y=29 \] \textbf{Rješenje:} \begin{align*} 3x+4y&=29 \tag{izrazimo $x$}\\ x&= \frac{29-4y}{3} \end{align*} Budući da je $x$ cijeli broj, $29-4y$ mora biti djeljivo s $3$, odnosno \begin{align*} 29-4y &\equiv 0 \mod{3} \\ -4y &\equiv -29 \mod{3} \\ 4y &\equiv 29 \equiv 2 \mod{3} \tag{Zašto smijemo dijeliti s 2?}\\ 2y &\equiv 1 \mod{3} \end{align*} Otkrili smo da $2y$ daje ostatak $1$ pri dijeljenju s $3$. $y$ može biti broj oblika $3k$, $3k+1$ ili $3k+2$ za neki cijeli broj $k$. Ako je $y=3k$, onda je $2y=6k$ djeljiv s $3$, što ne vrijedi. Ako je $y=3k+1$, onda $2y=6k+2$ daje ostatak $2$ pri dijeljenju s $3$, što isto ne vrijedi. Ako je $y=3k+2$, onda $2y=6k+4=6k+3+1$ daje ostatak $1$ pri dijeljenju s $3$, što vrijedi! Dakle, dobili smo \[ y=3k+2 \] za $k\in \mathbb{Z}$. Sada imamo \begin{align*} x&= \frac{29-4(3k+2)}{3} \\ &= \frac{29-12k-8}{3} \\ &= \frac{21-12k}{3} \\ &= 7-4k \end{align*} Našli smo sve cijele brojeve koji zadovoljavaju jednadžbu \[ x=7-4k, y=3k+2, k\in\mathbb{Z} \] Za provjeru, možemo uvrstiti $x$ i $y$ u početnu jednadžbu i dobijamo $29$. Za nastavak, upišite ime starogrčkog matematičara po kojem ime nose jednadžbe čija su rješenja cijeli brojevi, kakvu smo upravo i rješavali.