MetaMath '22

\textbf{Primjer 3:} \textit{(Zayaan Mulla)} Dokaži da niti jedan broj u nizu \[ 11,111,1111,11111,\ldots \] nije potpun kvadrat. \textbf{Rješenje:} Čest trik je gledati npr. ostatak potpunog kvadrata pri dijeljenju sa četiri. Ako je cijeli broj $n$ paran, $n=2k$, onda njegov kvadrat daje ostatak $0$ pri dijeljenju sa četiri. \[ n^2=4k^2 \equiv 0 \mod{4} \] Ako je $n$ neparan, $n=2k+1$, onda njegov kvadrat daje ostatak $1$ pri dijeljenju s četiri. \[ n^2=4k^2+4k+1 \equiv 1 \mod{4} \] Dakle, kvadrat nekog broja može davati jedino ostatke $0$ ili $1$ pri dijeljenju sa četiri. Prisjetimo se pravila djeljivosti: ako je broj koji formiraju zadnje dvije znamenke broja djeljiv sa četiri, onda je i taj broj djeljiv sa četiri. Kad bi brojevi u nizu završavali s $12$, onda bi davali ostatak $0$ pri dijeljenju sa četiri \[ 12 \equiv 0 \mod{4} \] Budući da su brojevi u nizu za $1$ manji, oni daju ostatak $3$ pri dijeljenju sa četiri. \[ 11\equiv 3 \mod {4} \] No pokazali smo da potpuni kvadrati daju ostatak $0$ ili $1$ pri dijeljenju s četiri. Zaključujemo da zato ni jedan broj u nizu nije potpun kvadrat. Može li koji broj u nizu \[ 2,22,222,2222,\ldots \] biti potpun kvadrat? Zašto? Upišite "Da" ili "Ne" kao odgovor.